“是否存在型”问题的一般解法文／唐兴中对于结论不确定的问题称为存在型问题，在数学命题中常以适合某种性质的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法，只要找出一个，就说明存在．“不存在”一般需推理论证，常用反证法．“是否存在”结论不确定，有两种可能：若存在，需找出来，若不存在，则要说明理由．对“是否存在型”问题的解答，通常有如下几种解法：1利用特殊函数或特殊值对于抽象函数的有关证明，比如单调性、周期性等的证明，可借助符合条件的一个具体函数来寻求解题途径或论证的结果或者用该具体函数来检验结论是否正确．例1已知函数ｆ（ｘ）定义域为Ｒ，对于任意ｘ、ｙ∈Ｒ，恒有ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝2ｆ（ｘ）ｆ（ｙ），且有正数ｃ，使ｆ（ｃ／2）＝0，试问是否存在Ｔ（Ｔ≠0）使得ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）．分析：由已知ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝2ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）联想到和差化积公式中的余弦公式，于是找到一个符合条件的一个函数ｙ＝ｃｏｓｘ（ｘ∈Ｒ），由于ｃｏｓπ／2＝0．所以π相当于题设中的正数ｃ．另外，我们知道余弦函数ｙ＝ｃｏｓｘ（ｘ∈Ｒ）是以2π为周期的周期函数，即2π相当于题中的T，而2π＝2×π．则T可能为2ｃ．于是可设法证明ｆ（ｘ＋2ｃ）＝ｆ（ｘ）．解：由ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝2ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）及ｆ（ｃ／2）＝0，得ｆ（ｘ＋ｃ）＋ｆ（ｘ）＝2ｆ（ｘ＋（ｃ／2））ｆ（ｃ／2）＝0，ｆ（ｘ＋2ｃ）＋ｆ（ｘ＋ｃ）＝2ｆ（ｘ＋（3ｃ／2））ｆ（ｃ／2）＝0，所以ｆ（ｘ＋ｃ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋2ｃ）＋ｆ（ｘ＋ｃ），ｆ（ｘ＋2ｃ）＝ｆ（ｘ），于是存在数Ｔ＝2ｃ使得ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）成立．例2是否存在常数ａ、ｂ使得等式（1／1×2×3）＋（1／2×3×4）＋…＋（1／ｎ（ｎ＋1）（ｎ＋2））＝（ａｎ2＋ｂｎ）／4（ｎ＋1）（ｎ＋2）对ｎ∈Ｎ恒成立?分析：因为该式对一切ｎ∈Ｎ恒成立，则当ｎ＝1、2时也应成立．因此，只要令ｎ＝1和2，求出ａ与ｂ的值，再用数学归纳法证明即可．解：略．2待定系数法待定系数是解答恒等式时常用的方法之一，通过恒等式，比较两边的相应项系数，可确定出所求的未知数的值．例3题目同例2．＝（（ｎ2＋3）／4（ｎ＋1）（ｎ＋2）），与右端比较，得ａ＝1，ｂ＝3．例4在公差不为零的等差数列｛ａｎ｝和等比数列｛ｂｎ｝中，已知ａ１＝ｂ１＝1，ａ２＝ｂ２，ａ８＝ｂ３．（1）求ａｎ、ｂｎ的表达式；（2）是否存在常数ａ、ｂ，使对一切ｎ∈Ｎ恒有ａｎ＝ｌｏｇａｂｎ＋ｂ成立？解：（1）设公差为ｄ，公比为ｑ，则有1＋ｄ＝ｑ，1＋7ｄ＝ｑ2，（1＋ｄ）2＝1＋7ｄ，∴ｄ＝5，ｑ＝6．于是，ａｎ＝ａ１＋（ｎ－1）ｄ＝5（ｎ－1）＋1，ｂｎ＝ｂ１ｑｎ－1＝6ｎ－1．（2）由ａｎ＝ｌｏｇａｂｎ＋ｂ得5（ｎ－1）＋1＝ｌｏｇａ6ｎ－1＋ｂ＝（ｎ－1）ｌｏｇａ6＋ｂ．比较系数，得ｌｏｇａ6＝5，ｂ＝1，∴ａ＝，ｂ＝1．3构造函数（数列），利用其单调性求解对于判断一类不等式是否恒成立的问题，可构造函数或数列，利用其单调性，求出不等式一端的最大值或最小值．将原不等式转化为一个具体不等式求解．例5是否存在正数ａ，使得对于大于ａ的所有ｘ恒有ａ＋（1／ａ）＜ｘ＋（1／ｘ）成立?若存在，求出ａ的最小值．分析：由不等式两边的结构，可构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋（1／ｘ）．则问题转化为求函数ｆ（ｘ）在ｘ＞0时的单调增区间，该区间左端点的对应值即为ａ的最小值．解：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋（1／ｘ）（ｘ＞0），则由ｘ＞0，得ｘ＋（1／ｘ）≥2，当且仅当ｘ＝1／ｘ，即ｘ＝1时取最小值．于是函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋（1／ｘ）在［1，＋∞）上为增函数．从而所求ａ的最小值为1．另解：设0＜ａ≤ｘ１＜ｘ２，则ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ｘ１＋（1／ｘ１）－（ｘ２＋（1／ｘ２））＝（ｘ１－ｘ２）＋（（1／ｘ１）－（1／ｘ２））=（ｘ１－ｘ２）＋（（ｘ２－ｘ１）／ｘ１ｘ２）=（ｘ１－ｘ２）·（（ｘ１ｘ２－1）／ｘ１ｘ２）， 0＜ｘ１...
