立体几何中的向量方法VIP免费

3.2.1立体几何中的向量方法—利用空间向量求空间角◆复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间夹角问题（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量◆知识点1：异面直线所成的角（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.两直线l,m所成的角为(02≤≤),cosabab；（2）两条直线的夹角：设直线,lm的方向向量分别为,ab，lamlambb所以与所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD所以：11(,0,1),2�AF111(,,1)22�BD11cos,�AFBD1111||||��AFBDAFBD113041053421BD1AF3010.,,111111111111所成的角的余弦值和求，、的中点、取中，在直三棱柱AFBDFDCABACCCABCACBCCBAABC例：直线l与平面所成的角为(02≤≤),sinauau；（3）直线与平面的夹角：设直线l的方向向量分别为a，平面的法向量分别为，aaABCD1A1B1C1DMNxyz例：(0,0,0),A1(0,0,4),A(0,8,0),D因为,AMDA1ANDA1(0,8,0),AD�1(0,8,4),AD�1cos,ADAD�255ADANM与平面所成角的正弦值是255所以是平面ANM的法向量DA1解:建立如图示的直角坐标系,则lcoscos,ABCDABCDABCD���DCBA◆知识点2：二面角①方向向量法：（范围：）[0,]ll②法向量法1n�1n�2n�2n�12nn�，12nn�，12nn�，12nn�，cos12cos,�nncos12cos,�nn法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角ABCDSxzyA-xyz解：建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2��SBAnAD易知面的法向量11(1,,0),(0,,1)22�CDSD2(,,),�SCDnxyz的法向量22,,�nCDnSD由得：设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1)�n任取1212126cos,3||||���nnnnnn63即所求二面角得余弦值是.,211,所成二面角的余弦值与面求面，，平面是直角梯形，如图所示，SBASCDADBCABSAABCDSABCABABCD例1：如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90°∥∠，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值;(2)OS与面SAB所成角的余弦值;(3)二面角B－AS－O的余弦值.OABCSxyz例2：OABCSxyz(1)OAOCOS�解：以，，为正交基底建立空间直角坐标系如图。(000)(001)(200)(110)OSAB则，，，，，，，，，，，(201)(110)SAOB�，，，，，20010cos552SAOB�，如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90°∥∠，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值;OABCSxyz如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90°∥∠，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值;(2)(201)(111)SASB�解：，，，，，()SABnxyz设平面的一个法向量为，，201120xzxyzxyz取，则，(112)(001)SABnOS�故平面的一个法向量为，，，又，，0026cos316nOS��，所以OS与面SAB所成角的余弦值为33OABCSxyz(112)SABn解：由(2)知平面的一个法向量为，，，OCSAOOCSAO�又由平面知是平面的法向量(010)OC�且，，0106cos661nOC�，所以二面角B－AS－O的余弦值为66如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90°∥∠，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：(3)二面角B－AS－O的余弦值.◆课堂小...