内积空间中的正交性VIP专享

2.4 内积空间中的正交性Inner Product Spaces and Orthogonality在三维空间中，如右图 1 所示任取一平面，空间中的每一个矢量必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量在平面上，另一个向量与平面垂直，即，．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？ 图 2.4.1 三维空间向量的分解，向量，其中2.4.1 正交分解定义 2.4.1 正交设是内积空间，，假如，则称与正交或垂直，记为．假如的子集中的每一个向量都与子集中的每一个向量正交，则称与正交，记为．特别记，即向量与中的每一个向量垂直．定理 2.4.1 勾股定理 设是内积空间，，若，则．证明 ．□注 1: 在内积空间中，是否存在 ？显然由，可知在实内积空间中成立．定义 2.4.2 正交补 Orthogonal plement设是内积空间，，记，则称为子集的正交补．显然有，以及．性质 2.4.1 设是内积空间，，则是的闭线性子空间．证明 (1) 是的线性子空间，，，有，于是，因此是的线性子空间．(2) 是的闭子空间设，且依范数，于是，有．因此，即是的闭子空间．□注 2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在 Hilbert 空间中(完备的内积空间)，任意子集的正交补是完备的子空间，即 Hilbert 空间的正交补也是 Hilbert 空间．定义 2.4.3 正交分解设是内积空间的子空间，，假如存在，使得，则称为在上的正交投影或正交分解．引理 2.4.1 设是内积空间，是的线性子空间，，若存在，使得，那么．证明 令，若不垂直于，则存在，使得，显然．因为，有特别取，则可得，即知．又由于，所以．产生矛盾，故．□定理 2.4.1 投影定理 设是 Hilbert 空间的闭线性子空间，则中的元素在中存在唯一的正交投影，即，，其中．(或表示为)证明 (1) 寻找进行分解．，设，则存在，使得 ，首先证是中的基本列，因为有因为及是子空间，知，所以，于是故是中的基本列，又因是闭子空间，即为完备空间，所以是中的收敛列．不妨设，则有．令，因此有，其中，且根据前面引理知．(2) 分解的唯一性．假设还存在，使得，那么有，，于是只需的分解具有唯一性．若，，，则可见及，即的分解具有唯一性．□例 2.4.1 证明在内积空间上，的充要条件是有．证明 必要性 若，则有，有，于是由勾股定理得：．充分性若有，且时，特别取，于是，故，即．□2.4.2 标准正交系在三维空间中，任何一向量可写成，其中，，，，，，显然当时，，而．可见，那么在有限维内积空间中是...