第十三章轴对称13.1轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时)学习目标1.理解线段垂直平分线的性质,会利用线段垂直平分线的性质进行推理.2.自己动手探究发现线段垂直平分线的性质,培养观察、猜想、归纳能力.3.通过应用线段垂直平分线的性质进行推理,培养几何推理的严密性.学习过程一、自主学习活动1:情景引入在106国道某段的同侧,有两个工厂A,B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选在何处?你会吗?带着这个问题,请进行下面的学习,学习完后你一定会解决这个问题!二、深化探究活动2:探究性质11.问题:如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3……是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3……到点A与点B的距离,你有什么发现?发现:.猜想:.2.问题:如图,已知直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.求证:PA=PB.证明:结论:线段垂直平分线的性质1.性质1用符号语言表示为:∵,∴.活动3:性质1的应用【例1】如图,在△ABC中,已知AC=27,DE垂直平分AB,交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.(1)已知中“DE垂直平分AB”这个条件能想到哪个重要定理:(2)用上这个定理后能增加什么条件?(3)你会写出应用这个定理的步骤吗?活动4:探究性质2把线段垂直平分线的性质1反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?3.问题:已知线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.求证:P点在线段AB的垂直平分线上.证明:总结:线段垂直平分线的性质2.用符号语言表示为:∵,∴.从上面两个结论可以看出:在线段AB垂直平分线l上的点与A,B的距离相等;反过来,与两点A,B的距离相等的点都在直线l上,所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.活动5:性质2的应用(8分钟)【例2】如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?并说明理由.三、深化提高解决问题(2分钟)在106国道某段的同侧,有两个工厂A,B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选在何处?四、反思小结活动7:感想与收获1.这节课你学到了哪些知识?2.你觉得这些知识在具体的题目中如何运用?3.你还有哪些困惑?五、课堂检测1.判断下列语句的对错.(1)如图①,直线MN垂直平分线段AB,则AE=AF.()(2)如图②,线段MN被直线AB垂直平分,则ME=NE.()(3)如图③,PA=PB,则直线MN是线段AB的垂直平分线.()2.在锐角△ABC内,一点P满足PA=PB=PC,则P是△ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.已知,D是直角△ABC斜边AC的中点,ED垂直AC于点D,交BC于点E,∠EAB∶∠EAC=2∶3,求∠ACB的度数.参考答案二、深化探究1.略2.证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.在△PCA和△PCB中,{AC=CB,∠PCA=∠PCB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.线段垂直平分线的性质1:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.性质1用符号语言表示为:∵PC垂直平分AB(CA=CB,PC⊥AB),∴PA=PB.【例1】解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∵BE+EC+BC=50,∴AE+EC+BC=50,即AC+BC=50.又AC=27,∴BC=23.3.证明:过点P作PC⊥AB于点C.在Rt△PAC和Rt△PBC中,{PA=PB,PC=PC(),公共边∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.故P点在AB的垂直平分线上.总结:线段垂直平分线的性质2与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.用符号语言表示为:∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.【例2】解:是.证明如下:∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.∵MB=MC,∴点M在BC的垂直平分线上.∴直线AM是线段BC的垂直平分线.三、深化提高作点A关于直线l的对称点A1,连接BA1交l于点C,则C点就是医院的位置(或作B的对称点).四、反思小结略五、课堂检测1.(1)错(2)对(3)错2.D3.解:设∠CAE=3x,∠BAE=2x,因为DE垂直平分AC,所以EA=EC,所以∠C=∠CAE=3x,3x+2x+3x+90°=180°,x=11.25°,∠C=33.75°.
