第十一章三角形11.3多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和学习目标1.了解多边形的内角、外角等概念.2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.学习过程一、自主学习问题1:你知道三角形的内角和是多少度吗?问题2:你知道四边形的内角和是多少度吗?问题3:你是如何得到这个结论的?二、深化探究探究1:举一反三探索多边形的内角和问题1:如图,请你利用分割的方法探索六边形的内角和是多少度?问题2:选择两种不同的将多边形分割成三角形的方法填入下表.多边形的边数图形分割出的三角形个数多边形的内角和456…………n问题3:通过填表,你知道多边形的内角和公式是什么了吗?问题4:回想正多边形的性质,你知道正多边形的每个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么?探究2:合作探索多边形的外角和问题1:小组合作完成下表.三角形四边形五边形六边形八边形十边形内角和外角和问题2:通过表格,你发现了什么规律?问题3:试证明你的结论.三、练习巩固练习1:判断.(1)当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时,它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等.()(4)从n边形一个顶点出发,可以引出(n-2)条对角线,得到(n-2)个三角形.()练习2:填空.(1)一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为.(2)五边形的内角和为,它的对角线有条.(3)一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为边形.(4)一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为边形.(5)如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加,外角和增加.练习3:选择.(1)多边形的每个外角与它相邻内角的关系是()A.互为余角B.互为邻补角C.两个角相等D.外角大于内角(2)多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是()A.八边形B.九边形C.十边形D.十一边形四、深化提高练习1:若n边形的n个内角与其一个外角的总和为1350°,则n等于()A.6B.7C.8D.9练习2:n边形的n个内角中锐角最多有()A.1个B.2个C.3个D.4个练习3:若一个多边形的每个外角都等于与其相邻的内角的12,求这个多边形的边数.参考答案一、自主学习问题1:三角形的内角和等于180°.问题2:四边形的内角和等于360°.问题3:用量角器测量或剪下四个内角进行拼接,也可以借助辅助线把四边形分割成几个三角形,利用三角形的内角和求得四边形的内角和.如图所示:二、深化探究探究1:问题1:可以将六边形分割成三角形或四边形来解决,如图:故六边形的内角和等于720°.问题2:第一种分割方法:多边形的边数图形分割出的三角形个数多边形的内角和444×180°-360°555×180°-360°666×180°-360°…………nnn×180°-360°第二种分割方法:多边形的边数图形分割出的三角形个数多边形的内角和422×180°533×180°644×180°…………nn-2(n-2)×180°问题3:多边形的内角和等于(n-2)×180°.问题4:正多边形的每个内角都相等,每条边都相等.因为正多边形的每个内角都相等,所以它的每个外角也都相等.故正多边形的每个内角的度数是(n-2)·180°n,每个外角的度数是360°n.探究2:合作探索多边形的外角和问题1:三角形四边形五边形六边形八边形十边形内角和180°360°540°720°1080°1440°外角和360°360°360°360°360°360°问题2:①多边形每增加一条边,内角和就增加180°;②多边形的外角和都是360°.问题3:①n边形的内角和等于(n-2)×180°,(n+1)边形的内角和等于(n-2+1)×180°=(n-1)×180°,两图形内角和的差值为(n-1)×180°-(n-2)×180°=180°,所以n边形每增加一条边,内角和就增加180°;②n边形的一个内角与和它相邻的外角的和是180°,所以n边形所有内角和所有外角的和就是n×180°;因为n边形的内角和是(n-2)×180°,所以其外角和是n×180°-(n-2)×180°=360°.三、练习巩固练习1:(1)√(2)×(3)√(4)×练习2:(1)26;(2)540°5;(3)正十二;(4)正八;(5)180°0°.练习3:(1)B(2)C四、深化提高练习1:D.理由:①n个内角与其一个外角的总和必大于n边形的内角和,所以有(n-2)·180°<1350°,即n<9.5;②因为多边形的每一个外角都不会大于180°,所以就有(n-2)·180°>1350°-180°,即n>8.5;因为n是整数,所以n=9.练习2:C.理由:假设n边形的n个内角中有4个锐...
