第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程学习目标1.经历由实际问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程,体会到方程也是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型.2.正确理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.3.通过概念教学,培养观察、类比、归纳能力,同时通过变式练习,对概念的理解具备完整性和深刻性.学习过程一、设计问题,创设情境阅读以下问题:问题1:要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米?问题2:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?思考:(1)全场共比赛场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他个队各赛一场,全场共比赛场.由此,我们可以列方程,化简得.二、信息交流,揭示规律观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数?它的最高次数是几?它们有什么共同特点?2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义:.三、运用规律,解决问题【例1】判断下列方程是否为一元二次方程.(1)3x+2=5y(2)x2=4(3)x2-4=(x+2)2(4)x-2x+1-1=x2【例2】将下列方程化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项及它们的系数:3x(x-1)=5(x+2).四、变式训练,深化提高1.方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?2.下列方程中,无论a为何值总是有关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=03.a为何值时关于x的方程(3a+1)x2+6ax-3=0是一元二次方程?4.k为何值时方程(k2-9)x2+(k-5)x+3=0不是关于x的一元二次方程?5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项:(1)5x2-1=4x(2)4x2=81(3)4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+1)=8x-36.根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.五、反思小结,观点提炼1.通过列方程解决问题你复习了哪几种类型的应用题?你感觉本节课哪种应用题是以前没有接触到的?2.本节重点学习的是什么方程?一般形式是什么?特别应该注意什么?3.在把一元二次方程转化为一般形式的过程中需要注意什么问题?参考答案一、设计问题,创设情境问题1:x2=2(2-x)问题2:(100-2x)(50-2x)=3600问题3:28(x-1)12x(x-1)12x(x-1)=28x2-x=56二、信息交流,揭示规律1.含有一个未知数,未知数的最高项数是2.2.等号两边都是整式,只含一个未知数,并且未知数的的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程.三、运用规律,解决问题【例1】(1)(3)(4)不是一元二次方程,(2)是一元二次方程【例2】3x2-8x-10=0,二次项是3x2,系数是3;一次项是-8x,系数是-8;常数项是-10.四、变式训练,深化提高1.a≠2时此方程为一元二次方程,a=2,b≠0时此方程为一元一次方程.2.D3.a≠-134.K=±35.原方程一般形式二次项系数一次项系数常数项(1)5x2-1=4x5x2-4x-1=05-4-1(2)4x2=814x2-81=040-81(3)4x(x+2)=254x2+8x-25=048-25(4)(3x-2)·(x+1)=8x-33x2-7x+1=03-716.(1)4x2-25=0(2)x2-2x-100=0(3)x2-3x+1=0五、反思小结,观点提炼略
