18.2.1矩形第2课时【教学目标】知识与技能:1.掌握矩形的两个判定定理,能根据不同条件,选取适当的定理进行推理计算.2.会用矩形的性质和判定定理进行计算或证明.过程与方法:经历矩形判定定理的猜想与证明过程,发展实验探索的意识;形成几何分析思路和方法,渗透类比思想,体会类比学习和图形判定探究的一般思路.情感态度与价值观:培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性.培养推理能力,会根据需要选择有关的结论证明,体会来自于实践的需要.【重点难点】重点:掌握矩形的判定定理,会用矩形的性质和判定定理进行计算或证明.难点:会用矩形的性质和判定定理进行计算或证明.【教学过程】一、创设情境,导入新课1.矩形有哪些性质?2.教具演示平行四边形与矩形的关系.3.提出问题:王明利用周末的时间,为自己做了一个相框.请你利用直尺和三角板帮他检验一下,相框是矩形吗?除了矩形的定义外,有没有其他判定矩形的方法呢?你能解答上面问题吗?这一节我们就来探究这一问题.二、探究归纳活动1:矩形的判定方法:1.(定义法)有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.探究:(1)填空:如图,在平行四边形ABCD中,AC=BD,所以AB=DC,BC=CB,所以△ABC≌△DCB,所以∠ABC=∠DCB=________,所以平行四边形ABCD是矩形.答案:90°(2)思考:对角线相等的平行四边形是什么特殊四边形?提示:对角线相等的平行四边形是矩形.(3)归纳:矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.活动2:矩形的判定方法:1.填空:在四边形ABCD中,若∠A=∠B=∠C=90°,则∠D=90°,所以∠A=∠C,∠B=∠D,所以四边形ABCD是平行四边形,又因为∠A=90°,所以四边形ABCD是矩形.2.思考:有三个角是直角的四边形是什么特殊四边形?提示:有三个角是直角的四边形是矩形.3.归纳:矩形的判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.4.注意:判定一个四边形是矩形,知道三个角是直角,条件就够了.因为由四边形内角和可知,这时第四个角一定是直角.活动3:例题讲解【例1】如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF.(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.分析:(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,进而得出答案.(2)根据已知得出∠ECB+∠FCD=∠OCE+∠OCF=90°,进而利用勾股定理求出EF的长,即可得出CO的长.(3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.解:(1) MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,∴∠2=∠5,∠4=∠6, MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF.(2) ∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°, CE=12,CF=5,∴EF===13,∴OC=EF=.(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由:当O为AC的中点时,AO=CO, EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形, ∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形.总结:常用的矩形判定方法已有条件需要条件平行四边形有一个角是直角邻角相等对角线相等一般四边形有三个角是直角对角线互相平分且相等【例2】已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形.(1)求证:四边形ADBE是矩形.(2)求矩形ADBE的面积.分析:(1)利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°,根据矩形的定义即可证得.(2)利用勾股定理求得BD的长,然后利用矩形的面积公式即可求解.解:(1) AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°, 四边形ADBE是平行四边形,∴平行四边形ADBE是矩形.(2) AB=AC=5,BC=6,AD是BC的中线,∴BD=DC=6×=3,在直角△ACD中,AD===4,∴S矩形ADBE=BD·AD=3×4=12.总结:矩形的性质应用与判定思路1.矩形的性质应用:矩形的性质较多,但不能混淆,矩形具有的性质平行四边形都具有是错误的,而是平行四边形具有的性质矩形都具有,矩形的性质可用来证明线段相等或互相平分、角相等、直线平行等.2.矩形的判定思路:(1)若给出的图形是一般的四边形,思路一:证明其三个角都是直角;思路二:先证明其为平行四边形,再证明其有一个角是直角或证明其对角线相等.(2)若给出的四边形是平行四边形,则直接证明其有一个角是直角或证明其对角线相...
