杭州师范大学硕士研究生招生考试命题纸杭州师范大学2020年招收攻读硕士研究生考试题考试科目代码：723考试科目名称：量子力学说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。一、填空题（每空2分，共20分）1.两个力学量同时具有确定值的条件是（）。2.自由粒子平面波波函数ψ(x)=ceikx，则该自由粒子的动量不确定度是（），坐标不确定度是（）。3.写出一维谐振子的哈密顿算符：（）。4.玻色子的自旋为ℏ的（）数倍，而费米子的自旋为ℏ的（）数倍。(填“奇”或“偶”)5.设ψnlm(r,θ,φ)设为氢原子的能量本征函数，完成下列积分：∫V❑ψnlm¿^lzψnlmdτ=（）,∫V❑ψnlm¿^l2ψnlmdτ=（）。6.反常Zeeman效应是由（）引起的，能级分裂的条数为（）（填“奇数”或“偶数”）。2020年考试科目代码723考试科目名称量子力学（本考试科目共2页本页第1页）杭州师范大学硕士研究生招生考试命题纸二、简答题（每题5分，共20分）一质量为m的粒子在势能V(x)=12mω2x2中做一维运动，请分别写出经典和量子情况下的基态能量，并作简要解释。1.什么是定态？两个定态的叠加态是否还是定态？为什么？2.解释束缚态和离散谱，并说明两者之间的关系。3.解释在中心力场下，加磁场前后对体系力学量完全集的选取造成的变化。三、计算题（每题25分，共50分）1.一个质量为m的粒子在一维无限深方势阱(0≤x≤a)中运动，t=0时刻的初态波函数为：ψ(x,0)=√85a(1+cosπxa)sinπxa,(1)在后来某一时刻t0的波函数是什么？(2)体系在t=0和t=t0时的平均能量是多少？(提示：将ψ(x,0)用一维无限深方势阱的本征态展开)2.在^sz的本征态χ1/2(sz)=(10)下，求(Δ^sx)2,(Δ^sy)2,其中(Δ^sk)2=(^sk−^sk)2(k=x,y),并计算^sx和^sy的测不准关系:(Δ^sx)2∙(Δ^sy)2=?四、证明题（每题20分，共60分）1.证明在任意态¿ψ⟩下，⟨ψ|^H|ψ⟩≥E0，其中E0是^H的基态能量。(提示：将ψ用^H的本征态进行展开)2.若^A，^B，^C是三个力学量算符，证明雅可比恒等式[^A,[^B,^C]]+[^B,[^C,^A]]+[^C,[^A,^B]]=0。3.证明厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。2020年考试科目代码723考试科目名称量子力学（本考试科目共2页本页第2页）
