(完整版)线代知识点总结-数学一VIP专享VIP免费

1线性代数知识点、难点1、n阶行列式的定义对于n阶行列式的定义，重点应把握两点：一是每一项的构成，二是每一项的符号。每一项的构成是不同行不同列的n个元素构成，一个n阶行列式共有!n项。乘积项为1212...njjnjaaa的符号取决于12,,...njjj的逆序数，即当12,,...njjj为偶排列时取正号，当12,,...njjj为奇排列时取负。例1行列式3122D为二阶行列式，每一项由2个元素构成，第一项为3*2，符号为正，第二项为1*2，符号为负。2、余子式和代数余子式余子式和代数余子式的概念容易出错，在计算中应注意。代数余子式(1)ijijijAM，其中ijM为余子式。一般这类题，重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用，所以考生一定要灵活掌握，掌握基本思想。下面请看一例：例2设行列式3040222207005322D则第4行元素余子式之和的值为__________【分析】4142434441424344MMMMAAAA3230403402222(7)(1)2222807001111111部分考生答案为0。原因是将余子式和代数余子式混淆了。本题中第四行元素的代数余子式之和为0。因为41424344414243441(2222)02AAAAAAAA。3、行列式按一行（列）展开设()ijnnAa，则21122||,...0,ijijinjnAijaAaAaAij或1122||,...0,ijijninjAijaAaAaAij注意：公式中使用的是代数余子式，而不是余子式。4、行列式的计算行列式的基本计算方法有三个：例21归化利用行列式的性质将行列式化成较简单且易于计算的行列式（如三角行列式等）；例22降阶利用行列式的展开定理，将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。在实际计算过程中，往往两种方法交替使用：先利用性质将某行（列）化出尽可能多的零元素，再用按行（列）展开定理进行降阶。注意，在化零元素的过程中，尽量不要出现分式，否则，计算过程往往会变得相当繁琐。例23递推在降阶中找出高阶行列式nD与低阶行列式rD（rn，通常是1rn）的关系，即递推公式，利用递推公式递推求得nD。例3记行列式212322212223333245354435743xxxxxxxxDxxxxxxxx为()fx，则方程()0fx的根的个数为＿。解析问方程()0fx有几个根，也就是问()fx是x的几次多项式。不要错误地认为这样的()fx一定是4次多项式，其实适当选系数可构造出0至4任一次数的多项式。由于行列式的每一个位置都含有x，若立即展开处理是不妥的，应当先利用性质恒等变形消去一些x再展开。将第1列的-1倍依次加至其余各列，有2101210022101221002121()33122331212217643734376xxxxxxfxxxxxxxxxxxg易见()fx是二次多项式。3例4........................abbbbabbDbbba＿。解析方法11......(1)......0......000......0..........00......000......[(1)]()nabbbanbbbbbaababDbaababanbab方法211......1......1......00......0[(1)][(1)]..........1......000......[(1)]()nbbbbbbabbabDanbanbbbaabanbab解本例的方法有典型性，大家应熟练掌握。5、矩阵的概念矩阵的行数和列数不一定相等。行数和列数相等的矩阵称为方阵。AB：矩阵A和矩阵B必须具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等。如111000。只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算。矩阵的数乘kA表示对矩阵A中的每一个元素都乘以k。注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列。矩阵的乘法AB必须要求A的列数等于B的行数。矩阵的乘法一般不满足交换律，即ABBA。例如：0A，0B，00ABBA。对于某些矩阵，即使AB与BA都有意义，它们仍不一定相等。如A，B，AB与BA都有意义，但AB为11矩阵，而BA为33矩阵，显然不相等。4当A和B均为nn矩阵时，||||||||ABABBAg。行列式是数，可以交换。有矩阵乘积0AB，不能推出0A或0B。等价地说，0A且0B，有可能使0AB，如上例。矩阵的乘法不满足消去律，即0A时，有ABAC，但BC。只有当A为非奇异矩阵，即||0A时，若0AB，则必有0B。若ABAC，则必有BC。例5设4阶矩阵234(,,,)Arrr，234(,,,)Brrr，其中234,,,,rrr是4维列向量，且||4A，||1B，则||AB＿。解析本题考查矩阵运算与行列式的性质。由于234(,2,2,2)ABrrr，所以234234234234|||222|8||8(||||)8(41)40ABrrrrrrrrrrrr部分考生将矩阵运算与行列式的性质混淆，得出错误结论||||||ABAB。例6设A是3阶方阵，*A是A的伴随矩阵，A的行列式1||2A，求行列式1*|(3)2...