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(完整版)线代知识点总结-数学一VIP免费

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1线性代数知识点、难点1、n阶行列式的定义对于n阶行列式的定义,重点应把握两点:一是每一项的构成,二是每一项的符号。每一项的构成是不同行不同列的n个元素构成,一个n阶行列式共有!n项。乘积项为1212...njjnjaaa的符号取决于12,,...njjj的逆序数,即当12,,...njjj为偶排列时取正号,当12,,...njjj为奇排列时取负。例1行列式3122D为二阶行列式,每一项由2个元素构成,第一项为3*2,符号为正,第二项为1*2,符号为负。2、余子式和代数余子式余子式和代数余子式的概念容易出错,在计算中应注意。代数余子式(1)ijijijAM,其中ijM为余子式。一般这类题,重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用,所以考生一定要灵活掌握,掌握基本思想。下面请看一例:例2设行列式3040222207005322D则第4行元素余子式之和的值为__________【分析】4142434441424344MMMMAAAA3230403402222(7)(1)2222807001111111部分考生答案为0。原因是将余子式和代数余子式混淆了。本题中第四行元素的代数余子式之和为0。因为41424344414243441(2222)02AAAAAAAA。3、行列式按一行(列)展开设()ijnnAa,则21122||,...0,ijijinjnAijaAaAaAij或1122||,...0,ijijninjAijaAaAaAij注意:公式中使用的是代数余子式,而不是余子式。4、行列式的计算行列式的基本计算方法有三个:例21归化利用行列式的性质将行列式化成较简单且易于计算的行列式(如三角行列式等);例22降阶利用行列式的展开定理,将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。在实际计算过程中,往往两种方法交替使用:先利用性质将某行(列)化出尽可能多的零元素,再用按行(列)展开定理进行降阶。注意,在化零元素的过程中,尽量不要出现分式,否则,计算过程往往会变得相当繁琐。例23递推在降阶中找出高阶行列式nD与低阶行列式rD(rn,通常是1rn)的关系,即递推公式,利用递推公式递推求得nD。例3记行列式212322212223333245354435743xxxxxxxxDxxxxxxxx为()fx,则方程()0fx的根的个数为_。解析问方程()0fx有几个根,也就是问()fx是x的几次多项式。不要错误地认为这样的()fx一定是4次多项式,其实适当选系数可构造出0至4任一次数的多项式。由于行列式的每一个位置都含有x,若立即展开处理是不妥的,应当先利用性质恒等变形消去一些x再展开。将第1列的-1倍依次加至其余各列,有2101210022101221002121()33122331212217643734376xxxxxxfxxxxxxxxxxxg易见()fx是二次多项式。3例4........................abbbbabbDbbba_。解析方法11......(1)......0......000......0..........00......000......[(1)]()nabbbanbbbbbaababDbaababanbab方法211......1......1......00......0[(1)][(1)]..........1......000......[(1)]()nbbbbbbabbabDanbanbbbaabanbab解本例的方法有典型性,大家应熟练掌握。5、矩阵的概念矩阵的行数和列数不一定相等。行数和列数相等的矩阵称为方阵。AB:矩阵A和矩阵B必须具有相同的行数和相同的列数,且对应元素均相等。如111000。只有两个矩阵具有相同的行数和列数时,才能进行矩阵的加法运算。矩阵的数乘kA表示对矩阵A中的每一个元素都乘以k。注意:是每一个元素,而不是某一行或某一列。矩阵的乘法AB必须要求A的列数等于B的行数。矩阵的乘法一般不满足交换律,即ABBA。例如:0A,0B,00ABBA。对于某些矩阵,即使AB与BA都有意义,它们仍不一定相等。如A,B,AB与BA都有意义,但AB为11矩阵,而BA为33矩阵,显然不相等。4当A和B均为nn矩阵时,||||||||ABABBAg。行列式是数,可以交换。有矩阵乘积0AB,不能推出0A或0B。等价地说,0A且0B,有可能使0AB,如上例。矩阵的乘法不满足消去律,即0A时,有ABAC,但BC。只有当A为非奇异矩阵,即||0A时,若0AB,则必有0B。若ABAC,则必有BC。例5设4阶矩阵234(,,,)Arrr,234(,,,)Brrr,其中234,,,,rrr是4维列向量,且||4A,||1B,则||AB_。解析本题考查矩阵运算与行列式的性质。由于234(,2,2,2)ABrrr,所以234234234234|||222|8||8(||||)8(41)40ABrrrrrrrrrrrr部分考生将矩阵运算与行列式的性质混淆,得出错误结论||||||ABAB。例6设A是3阶方阵,*A是A的伴随矩阵,A的行列式1||2A,求行列式1*|(3)2...

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