外接球内切球的解题方法[高考定位]高考对本讲内容主要考查空间几何体的展开图、表面积和体积的计算等．试题的题型主要是选择题和填空题，对表面积与体积也可能在解答题中设置一问，在难度上有所控制，基本上都是中等难度或者较易的试题．空间几何体与球的切、接问题也是高考的重点，难度较大．与球有关的切、接问题[核心提炼]与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．例如：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．1.球的表面积为S=4πR22.球的体积为V＝43πR3[规律方法]多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题．(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(3)若球面上4点P，A，B，C构成的3条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2＝a2＋b2＋c2求解．【题型汇总】一．球的性质应用二．最值问题三．球直径灵活应用四．球与其它几何体的综合五．球定义的灵活应用六．多面体放球中的解题策略七．球的截面问题八．内切球问题九．翻折问题与球【题型解法】一．球的性质应用例1．已知三棱锥SABC的顶点都在球O的球面上，ABC是边长为6的正三角形，SC为球O的直径，且8SC，则此三棱锥的体积为()A．43B．63C．123D．163【答案】C【解析】因为△ABC是边长为6的正三角形,所以△ABC外接圆的半径r=23，SC为球O的直径，且8SC，球O半径R=4，所以点O到平面ABC的距离22224232dRr，SC为球O的直径,点S到平面ABC的距离为2d=4，此棱锥的体积为111326641233322ABCVSd，故选C.练习1．已知三棱锥OABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若2ABBC，120ABC，且三棱锥OABC的体积为3，则球O的表面积为（）A．323B．16C．52D．64π【答案】C【解析】由题意2ABBC，ABC1120=||||sin32ABCSABBCABC，1333OABCABCVShh.又ABC的外接圆的半径222sin2sin30oABrC因此球O的半径222313R球的表面积：2452SR.故选：C练习2．已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=23，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．64πD．128π【答案】C【解析】 底面ABC中，2ABAC，6BC，1cos2BAC3sin2BAC，ABC的外接圆半径1623232r，PA面ABC三棱锥外接球的半径22222232162PARr，所以三棱锥PABC外接球的表面积2464SR．故选C．二．最值问题例2．已知三棱锥PABC的顶点都在半径为53的球面上，1AB，3BC，2AC，则三棱锥PABC体积的最大值为（）A．32B．1C．3D．5318【答案】A【解析】解：如图，设球心为O，由1AB，3BC，2AC可得ABC为直角三角形，斜边AC的中点O为球小圆的圆心，接OO，OA，则OO平面ABC，由53OA，1OA可得43OO，故三棱锥PABC的最大体积为113453()332332ABCSOP，故选：A．练习1．在三棱锥PABC中，PA底面ABC，,6,8ABACABAC，D是线段AC上一点，且3ADDC.三棱锥PABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16，则球O的表面积为（）A．72πB．86C．112D．128【答案】C【解析】将三棱锥PABC补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的中心为1O，设球的半径为R，2PAx，则球心O到平面ABC的距离为x，即1OOx，连接1OA，则15OA，∴2225Rx.在ABC中，取AC的中点为E，连接11,ODOE，则1132OEAB，124DEAC，所以113OD.在1RtOOD中，213ODx，由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r，则22222251312rRODxx，所以最小截面圆的面积为12，当截面过球心时，截面面积最大为2R，所以21216R，228R，球的表面积为2112R.故选:C.练习2．已知ABC的三个顶点落在半径为R的球O的表面上，三角形有一个角为3且其对边长为3，球心O到ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的...
