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外接球内切球的解题方法VIP免费

外接球内切球的解题方法_第1页
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外接球内切球的解题方法[高考定位]高考对本讲内容主要考查空间几何体的展开图、表面积和体积的计算等.试题的题型主要是选择题和填空题,对表面积与体积也可能在解答题中设置一问,在难度上有所控制,基本上都是中等难度或者较易的试题.空间几何体与球的切、接问题也是高考的重点,难度较大.与球有关的切、接问题[核心提炼]与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.例如:球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.1.球的表面积为S=4πR22.球的体积为V=43πR3[规律方法]多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题.(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.(3)若球面上4点P,A,B,C构成的3条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,用4R2=a2+b2+c2求解.【题型汇总】一.球的性质应用二.最值问题三.球直径灵活应用四.球与其它几何体的综合五.球定义的灵活应用六.多面体放球中的解题策略七.球的截面问题八.内切球问题九.翻折问题与球【题型解法】一.球的性质应用例1.已知三棱锥SABC的顶点都在球O的球面上,ABC是边长为6的正三角形,SC为球O的直径,且8SC,则此三棱锥的体积为()A.43B.63C.123D.163【答案】C【解析】因为△ABC是边长为6的正三角形,所以△ABC外接圆的半径r=23,SC为球O的直径,且8SC,球O半径R=4,所以点O到平面ABC的距离22224232dRr,SC为球O的直径,点S到平面ABC的距离为2d=4,此棱锥的体积为111326641233322ABCVSd,故选C.练习1.已知三棱锥OABC中,A,B,C三点在以O为球心的球面上,若2ABBC,120ABC,且三棱锥OABC的体积为3,则球O的表面积为()A.323B.16C.52D.64π【答案】C【解析】由题意2ABBC,ABC1120=||||sin32ABCSABBCABC,1333OABCABCVShh.又ABC的外接圆的半径222sin2sin30oABrC因此球O的半径222313R球的表面积:2452SR.故选:C练习2.已知三棱锥P-ABC中,PA=4,AB=AC=23,BC=6,PA⊥面ABC,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.16πB.32πC.64πD.128π【答案】C【解析】 底面ABC中,2ABAC,6BC,1cos2BAC3sin2BAC,ABC的外接圆半径1623232r,PA面ABC三棱锥外接球的半径22222232162PARr,所以三棱锥PABC外接球的表面积2464SR.故选C.二.最值问题例2.已知三棱锥PABC的顶点都在半径为53的球面上,1AB,3BC,2AC,则三棱锥PABC体积的最大值为()A.32B.1C.3D.5318【答案】A【解析】解:如图,设球心为O,由1AB,3BC,2AC可得ABC为直角三角形,斜边AC的中点O为球小圆的圆心,接OO,OA,则OO平面ABC,由53OA,1OA可得43OO,故三棱锥PABC的最大体积为113453()332332ABCSOP,故选:A.练习1.在三棱锥PABC中,PA底面ABC,,6,8ABACABAC,D是线段AC上一点,且3ADDC.三棱锥PABC的各个顶点都在球O表面上,过点D作球O的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16,则球O的表面积为()A.72πB.86C.112D.128【答案】C【解析】将三棱锥PABC补成直三棱柱,且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O,记三角形ABC的中心为1O,设球的半径为R,2PAx,则球心O到平面ABC的距离为x,即1OOx,连接1OA,则15OA,∴2225Rx.在ABC中,取AC的中点为E,连接11,ODOE,则1132OEAB,124DEAC,所以113OD.在1RtOOD中,213ODx,由题意得到当截面与直线OD垂直时,截面面积最小,设此时截面圆的半径为r,则22222251312rRODxx,所以最小截面圆的面积为12,当截面过球心时,截面面积最大为2R,所以21216R,228R,球的表面积为2112R.故选:C.练习2.已知ABC的三个顶点落在半径为R的球O的表面上,三角形有一个角为3且其对边长为3,球心O到ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的...

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