星期六(解答题综合练)2016年____月____日1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理可设＝＝＝＝＝，所以a＝sinA，b＝sinB，所以＝＝.(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.2.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.证明(1)设AC与BD交于O点，连接EO.正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又 BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE， EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO， EO∥BF，∴BF⊥BD.3.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是一个AB＝BD＝l，∠B＝的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面(C不与A，B重合)，且CD可伸缩(当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v，为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t表示成θ的函数(用含有v和l的式子)；(2)当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？解(1)在△BCD中， ∠BCD＝θ，∠B＝，BD＝l，∴BC＝，CD＝，∴AC＝AB－BC＝l－，则t＝＋＝－＋.(2)t＝＋＝＋·.令m(θ)＝，则m′(θ)＝，令m′(θ)＝0得cosθ＝.设cosθ0＝，θ0∈，则θ∈时，m′(θ)＜0；θ∈时，m′(θ)＞0，∴当cosθ＝时，m(θ)有最小值2，此时BC＝l.答：当BC＝l时货物运行时间最短．4.如图，已知椭圆C：＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成矩形的两个顶点．(1)设P是椭圆C上任意一点，若OP＝mOA＋nOB，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．(1)证明易求A(2，1)，B(－2，1)．设P(x0，y0)，则＋y＝1.由OP＝mOA＋nOB，得所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝kOA·kOB＝－.平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.因为直线MN的方程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝＝，所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝＝＝＝1.故△OMN的面积为定值1.5．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2，4]时的最小值．解(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，又因为－2≤x≤－1，所以a≥在x∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，所以a≥.(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(3)因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝①若a≥－，则x∈[2，4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；②若a＜－，则x∈[2，4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.③若－≤a＜－，则x∈[2，4]时，g(x)＝当x∈[2，1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a＋5；当x∈[1－2a，4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a.因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，所以g(x)最小值为4a＋5，综上所述，[g(x)]min＝...
