训练目标(1)函数的单调性与导数的关系；(2)函数单调性的应用．训练题型(1)求函数单调区间；(2)利用函数单调性求参数值；(3)利用函数单调性比较函数值大小．解题策略(1)函数的单调性可通过解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0判断；(2)若f(x)在区间D上是增函数，则f′(x)≥0在D上恒成立；(3)已知条件中含f(x)的不等式，可构造函数，利用单调性求解.1．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________．2．(2016·常州模拟)若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是____________．3．(2016·镇江一模)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝xlnx，则不等式f(x)＜－e的解集为______________．4．(2016·镇江模拟)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是____________．5．(2017·江苏扬州中学月考)若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是____________________．6．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k＞0)，(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为____________；(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是____________．7．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________________．8．(2016·兰州一模)若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______________________．9．(2016·常州武进期中)已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)＜f(－x)，则满足(2x－1)f(2x－1)＜f(3)的实数x的取值范围是________．10．(2016·天津十二区县重点高中第一次联考)已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝ax＋b.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若直线g(x)＝ax＋b是函数f(x)＝lnx－的图象的切线，求a＋b的最小值．答案精析的单调性1．(0,1]2.(－∞，0)3．(－∞，－e)解析当x＞0时，f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1.令f′(x)＝lnx＋1＝0，解得x＝，易知当x＞0时，f(x)min＝f()＝－＞－e，故只能在x＜0时，求解f(x)＜－e.因为函数f(x)为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出f(x)的大致图象如图所示，根据函数单调性，且f(－e)＝－f(e)＝－e·lne＝－e，得所求不等式的解集为x＜－e.4.5．[，＋∞)解析f′(x)＝2mx＋－2，由题意知，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m≥－＋在(0，＋∞)上恒成立，令t＝＞0，则2m≥－t2＋2t，又∵(－t2＋2t)max＝1，∴2m≥1，∴m≥.6．(1)(2)解析(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝.(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)≤0，解得k≤.又k＞0，故0＜k≤.7．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，所以Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，所以－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b＜－1或b＞3.8．(－∞，2ln2－2]解析因为f(x)＝x2－ex－ax，所以f′(x)＝2x－ex－a，因为函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，所以f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln2，则当x＜ln2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＞ln2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，所以当x＝ln2时，g(x)取得最大值，g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，所以a≤2ln2－2.9．(－1,2)解析令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∵当x∈(－∞，0]时，xf′(x)＜f(－x)恒成立，且由题意知f(－x)＝－f(x)，∵当x∈(－∞，0]时，F′(x)＜0，即F(x)在(－∞，0]上递减．不等式(2x－1)f(2x－1)＜f(3)可化为(2x－1)f(2x－1)＜3f(3)，即F(2x－1)＜F(3)，易知F(x)为偶函数，所以不等式可化为|2x－1|＜3，解得－1＜x＜2.10．解(1)h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－－ax－b，则h′(x)＝＋－a.∵h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴对∀x＞0，都有h′(x)＝＋－a≥0，即对∀x＞0，都有a≤＋.∵＋＞0，∴a≤0.故实数a的取值范围是(－∞，0]．(2)设切点(x0，lnx0－)，则切线方程为y－(lnx0－)＝(＋)(x－x0)，即y＝(＋)x－(＋)x0＋(lnx0－)，即y＝(＋)x＋(lnx0－－1)，令＝t＞0，由题意得a＝＋＝t＋t2，b＝lnx0－－1＝－lnt－2t－1，令a＋b＝φ(t)＝－lnt＋t2－t－1，则φ′(t)＝－＋2t－1＝，当t∈(0,1)时，φ′(t)＜0，φ(t)在(0,1)上单调递减；当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)＞0，φ(t)在(1，＋∞)上单调递增．∴a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，故a＋b的最小值为－1.
