训练目标(1)函数极值、最值的概念、求法；(2)函数极值、最值的应用．训练题型(1)求函数的极值；(2)求函数的最值；(3)恒成立问题；(4)零点问题．解题策略(1)f′(x)＝0是函数f(x)存在极值点的必要条件，f(x)的极值可用列表法求解；(2)利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；(3)零点问题可借助于函数的图象解决.1．(2016·济宁一模)函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．2．已知函数f(x)＝x3－2ax2－3x＋1在(－1,1)内有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是________________________．3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________．4．(2016·南京模拟)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．其中判断正确的是________．5．(2016·保定一中模拟)已知f(x)＝ax3，g(x)＝9x2＋3x－1，当x∈[1,2]时，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围为____________．6．(2016·唐山一模)直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于点A，B，则AB的最小值为________．7．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是____________．8．(2016·郑州模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．9．(2015·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)10．(2016·南通一模)已知函数f(x)＝ax3＋3xlnx(a∈R)．(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(，e)上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．答案精析1.2.(－∞，－)∪(，＋∞)3．－4.③5．[11，＋∞)解析f(x)≥g(x)恒成立，即ax3≥9x2＋3x－1. x∈[1,2]，∴a≥＋－.令＝t，则当t∈[，1]时，a≥9t＋3t2－t3.令h(t)＝9t＋3t2－t3，则h′(t)＝9＋6t－3t2＝－3(t－1)2＋12.∴h′(t)在[，1]上是增函数．∴h′(x)min＝h′()＝－＋12＞0.∴h(t)在[，1]上是增函数．∴a≥h(1)＝11.6.解析令2(x＋1)＝a，解得x＝－1.设方程x＋lnx＝a的根为t(x＞0，t＞0)，即t＋lnt＝a，则AB＝|t－＋1|＝|t－＋1|＝|－＋1|.设g(t)＝－＋1(t＞0)，则g′(t)＝－＝，令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)＜0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＞0，所以g(t)min＝g(1)＝，所以AB≥，所以AB的最小值为.7．(0，)解析函数f(x)＝x(lnx－ax)(x＞0)，则f′(x)＝lnx－ax＋x(－a)＝lnx－2ax＋1.令f′(x)＝lnx－2ax＋1＝0，得lnx＝2ax－1.函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，等价于f′(x)＝lnx－2ax＋1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax－1的图象有两个交点．在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)．当a＝时，直线y＝2ax－1与y＝lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y＝lnx与y＝2ax－1的图象有两个交点，则实数a的取值范围是(0，)．8．－13解析f′(x)＝－3x2＋2ax，根据已知＝2，得a＝3，即f(x)＝－x3＋3x2－4.根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1,1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(n)＝－3n2＋6n在[－1,1]上单调递增，所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9.[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.9．①④解析设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故①正确；对于②直线CD的斜率可为负，即n＜0，故②不正确；对于③由m＝n，得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2xln2－2x－a，由h′(x)＝0，得2xln2＝2x＋a，结合图象知，当a很小时，该方程无解，∴函数h(x)不一定有极值点，...
