第24课二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求ABC二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.2．二倍角公式的变形及逆用(1)公式C2α的变形：①sin2α＝(1－cos2α)；②cos2α＝(1＋cos2α)．(2)公式的逆用：①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；②sinα±cosα＝sin.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对∀α∈R，sin2α＝2sinα均不成立．()(2)sin2－cos2＝cos＝.()(3)sinα＋cosα＝.()(4)等式1＋cosα＝2sin2对∀α∈R均成立．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．下列各式中值为的是________．(填序号)①2sin15°cos15°；②cos215°－sin215°；③2sin215°－1；④sin215°＋cos215°.②[2sin15°cos15°＝sin30°＝，cos215°－sin215°＝cos30°＝，2sin215°－1＝－cos30°＝－，sin215°＋cos215°＝1.]3．若sinα＝，α∈，则tan2α＝________.－[ α∈，sinα＝，∴cosα＝＝，∴tanα＝2，∴tan2α＝＝＝－.]4．(2017·南京模拟)若tanα＝，则＝________.[＝＝tanα＝.]5．(教材改编)函数f(x)＝sinx＋cosx的最小值为________．－2[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·无锡模拟)已知coscos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．[解](1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，即sin＝－. α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，∴sin2α＝sin＝sincos－cos·sin＝.(2) α∈，∴2α∈.又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.[规律方法]给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中＋＝，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1](2017·南京、盐城二模)已知α为锐角，cos＝.(1)求tan的值；(2)求sin的值.【导学号：62172133】[解](1)因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝，所以tan＝＝2.(2)因为sin＝sin＝2sincos＝，cos＝cos＝2cos2－1＝－，所以sin＝sin＝sincos－cossin＝.应用倍角公式化简(1)化简：＝________.(2)化简：.(1)2cosα[原式＝＝2cosα.](2)原式＝＝＝＝cos2x.[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2]化简sin2＋sin2－sin2α＝________.[法一：原式＝＋－sin2α＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝1－－＝.法二：令α＝0，则原式＝＋＝.]三角变换的简单应用已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【导学号：62172134】[解](1)由已知，有f(x)＝－＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝－，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.[规律方法]1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3]已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．[解](1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－.因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题...
