一、选择题1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()．A．lg(1＋a2)＞0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab＞2b2D．＜2．给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝.下列函数中不满足其中任何一个等式的是()．A．f(x)＝3xB．f(x)＝sinxC．f(x)＝log2xD．f(x)＝tanx3．(2011浙江高考，理7)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋()．A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则()．A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定6．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的是()．A．τ1＞τ4＞τ3B．τ3＞τ1＞τ2C．τ4＞τ2＞τ1D．τ3＞τ4＞τ1二、填空题7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．8．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为__________．9．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.根据上述证明方法，若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时，你能得到的结论为__________．三、解答题10．已知，a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.11．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f(x)＝0没有负实数根．12．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(0,1)，且过点A(2，t)，(1)求t的值；(2)若点P，Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题1．B解析：在B中， a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．2．B解析：易知第一个等式是对数函数模型，第二个等式是指数函数模型，第三个是两角和与差的正切公式，易知只有B选项不合条件．3．A解析： 0＜ab＜1，∴ab同号，当a，b同为正时，可得a＜，当a，b同为负时，可得b＞，因此0＜ab＜1⇒a＜或b＞；反之由a＜得，a－＜0，即＜0，即或同理，由b＞得，或因此a＜或b＞D0＜ab＜1，因此“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分但不必要条件．4．C解析：因为a＋＋b＋＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.5．A解析：由正弦定理，得＝，∴sinA＝＝＞.∴A＞30°.∴B＝180°－120°－A＜30°.∴a＞b.6．C解析：在图(1)中，设图形所在的矩形长为a，宽为b，则其周率为，由不等式的性质可知≤2；在图(2)中设大圆的半径为R，则易知外边界长为πR，而内边界恰好为一个半径为的小圆的周长πR，故整个边界长为2πR，而封闭曲线的直径最大值为2R，故周率为π；图(3)中周长为直径的三倍，故周率为3；图(4)中设各边长为a，则整个边界的周长为12a，直径为2a，故周率为2，故三个周率大小符合选项C.二、填空题7．a＜b解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，＜.∴a＜b.8．18解析：＝，由S11为定值，可知为定值．设＝24，整理得＋d＝4，可知n＝18.9．≤解析：构造函数f(x)＝＝，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得≤0，所以≤.三、解答题10．证法一：假设三式同时大于，即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞. a，b，c∈(0,1)，∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞.又(1－a)a≤＝，同理(1－b)b≤，(1－c)c≤，∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a≤，这与假设矛盾，故原命题得证．证法二：假设三式同时大于， 0＜a＜1，∴1－a＞0，≥＞＝.同理＞，＞，三式相加...
