高考大题专项练1函数、不等式与导数1.设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,求a的取值范围.2.设函数f(x)=aex++b(a>0).(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.3.设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.4.(2014福建厦门适应性考试)已知函数f(x)=ax2+xlnx(a∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直.(1)求实数a的值;(2)求证:当n>m>0时,lnn-lnm>;(3)若存在k∈Z,使得f(x)>k恒成立,求实数k的最大值.5.(1)证明:当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x;(2)若不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.6.设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.答案：1.解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其对应方程判别式Δ=4a2-12a2+12=12-8a2.①若Δ=12-8a2=0,即a=±,当x∈或x∈时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.所以a=±符合题意.②若Δ=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.所以a2>,即a∈.③若Δ=12-8a2>0,即-
0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a<.由x2≤1得≤3-a,解得-0,即x>-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上递增;当f'(x)<0,即x<-lna时,f(x)在(-∞,-lna)上递减.①当00,f(x)在(0,-lna)上递减,在(-lna,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-lna)=2+b;②当a≥1时,-lna≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b.(2)依题意f'(2)=ae2-,解得ae2=2或ae2=-(舍去).所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=.故a=,b=.3.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.所以,f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f'(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0等价于k<+x(x>0).①令g(x)=+x,则g'(x)=+1=.由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k,即证ln,只需证ln>0.令g(x)=lnx-+x(x≥1),则g'(x)=+1.当x≥1时,g'(x)>0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增.由n>m>0,得>1.所以g>g(1)=0,即ln>0.所以lnn-lnm>.(3)解:由(1)知f(x)=x2+xlnx,x∈(0,+∞),f'(x)=2x+lnx+1,x∈(0,+∞).令g(x)=2x+lnx+1,x∈(0,+∞),则g'(x)=2+,x∈(0,+∞).所以g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g-2+1=-1<0,g=2-ln2>0,所以存在x0∈,使g(x0)=0.所以当x∈(0,x0)时,g(x)=f'(x)<0,f(x)在(0,x0)上单调递减;当x∈(x0,+∞)时,g(x)=f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增.所以f(x)在x=x0处取得最小值f(x0).因为f(x)>k恒成立,所以k0,F(x)在上是增函数;当x∈时,F'(x)<0,F(x)在上是减函数.又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥x.记H(x)=sinx-x,则当x∈(0,1)时,H'(x)=cosx-1<0,所以,H(x)在[0,1]上是减函数,则H(x)≤H(0)=0,即sinx≤x.综上,x≤sinx≤x,x∈[0,1].(2)解法一:因为当x∈[0,1]时,ax+x2++2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2≤(a...
