高考大题专项练5圆锥曲线问题1.已知椭圆C:=1,过原点O的动直线与椭圆C交于A,B两点.若点P满足|PA|=|PB|,求证:为定值.2.已知椭圆C:+y2=1,右焦点为F2.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.求的取值范围.3.已知椭圆C:=1(a>b>0).(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程;(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;(3)过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时,a,b满足的条件.4.如图,设椭圆C:=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:x3-24y-20-4(1)求C1,C2的标准方程;(2)请问是否存在直线l满足条件:①过C2的焦点F;②与C1交于不同两点M,N,且满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2014河北唐山二模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点M,过点M作圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为A,B,|AB|=.(1)求抛物线E的方程;(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线,切点分别为P,Q,若P,Q,O(O为原点)三点共线,求点N的坐标.答案：1.证明:由|PA|=|PB|,知P在线段AB的垂直平分线上.由椭圆的对称性可知A,B关于原点对称.①若A,B在椭圆的短轴顶点上,则点P在椭圆的长轴顶点上,此时=2=2.同理若点A,B在椭圆的长轴顶点上,则点P在短轴顶点上,此时=2=2.②当点A,B,P不是椭圆顶点时,设直线l的方程为y=kx(k≠0),则直线OP的方程为y=-x,设A(x1,y1),由解得.所以|OA|2=|OB|2=,用-代换k,得|OP|2=.所以=2.综上,为定值2.2.解:由题意,当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),得=-1.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k≠0),M(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1,y1+y2=2m.由得(x1+x2)+2(y1+y2)·=0,则-1+4mk=0,故k=.此时,直线PQ斜率为k1=-4m,PQ的直线方程为y-m=-4m.即y=-4mx-m.联立整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设P(x3,y3),Q(x4,y4),所以x3+x4=-,x3x4=.于是=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)·(4mx4+m)=(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)·x3x4+m2+1=+1+m2=.由于M在椭圆的内部,故00.∴k∈.①又x1+x2=,x1x2=,由0°<∠AOB<90°⇔>0.∴=x1x2+y1y2>0.∴=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0.解得-2b>0),把点(-2,0),代入得解得故C1方程为+y2=1.(2)(方法一)假设存在这样的直线l过抛物线焦点F(1,0),设直线l的方程为x-1=my,两交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2),由消去x,得(m2+4)y2+2my-3=0,则y1+y2=,y1y2=,①x1x2=(1+my1)(1+my2)=1+m(y1+y2)+m2y1y2=1+m·+m2·=.②由,得=0,得x1x2+y1y2=0.(*)将①②代入(*)式,得=0,...
