12.6离散型随机变量的均值与方差一、选择题1．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.B.C.D.解析由分布列的性质可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝.∴E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝.答案C2．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于()A.B.C．3D.解析因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.答案D3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()．A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B4．已知X的分布列为X－101P则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝；③P(X＝0)＝.正确的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析E(X)＝(－1)×＋1×＝－，故①正确．D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确．由分布列知③正确．答案C5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A.B.C.D.解析依题意得3a＋2b＋0×c＝1， a＞0，b＞0，∴3a＋2b≥2，即2≤1，∴ab≤.当且仅当3a＝2b即a＝，b＝时等式成立．答案B6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()．A．100B．200C．300D．400解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200.答案B7．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()．A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.答案B二、填空题8.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望答案9．已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.解析由题意知解得答案10．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.解析令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.答案211．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.解析每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X～B，故D(X)＝8××＝2.答案212．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B，从而有E(ξ)＝np＝4×＝.答案三、解答题13．某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b(1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1...
