第1页共16页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共16页《计算机数学基础(1)》第四单元辅导本单元重点：欧拉图和哈密顿图、平面图和树的基本概念.代数运算及性质，群的概念，交换群和循环群.一、重点内容1.欧拉图欧拉通路(回路)与欧拉图通过图G的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结点的通路(回路)，就是欧拉通路(回路).存在欧拉回路的图就是欧拉图.欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复.笔不离开纸，不重复地走完所有的边，且走过所有结点，就是所谓的一笔画.欧拉图或通路的判定(1)无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数):(定理1)(2)非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论)(3)连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D中每个结点的入度＝出度连通有向图D含有有向欧拉通路D中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝1.(定理2)2.哈密顿图哈密顿通路(回路)与哈密顿图通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，就是哈密顿通路(回路).存在哈密顿回路的图就是哈密顿图.判断哈密顿图是较为困难的.哈密顿图的充分条件和必要条件(1)在无向简单图G=中V3,任意不同结点u,v∈G,deg(u)+deg(v)≥|V|,则G是哈密顿图.(充分条件，定理4)(2)有向完全图D＝,若|V|≥3，则图D是哈密顿图.(充分条件，定理5推论)(3)设无向图G=,V1V，则P(G－V1)V1(必要条件，定理3)若此条件不满足，即V1V，使得P(G－V!)>V1,则G一定不是哈密顿图(非哈密顿图的充分条件).3.平面图平面图一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交.面、边界和面的次数由连通平面图G的边围成的其内部不含G的结点和边的区域是面，常用r表示.围成面的各边组成的回路是边界.边界回路的长度是面的次数，记作deg(r).重要结论(1)平面图G=,|V|=v,|E|=e,则∑i=1rdeg(ri)=2e(所有面的次数之和＝边的2倍)(定理6).(2)欧拉公式：平面图G=,|V|=v,|E|=e,面数为r，则v−e+r=2(结点数与面数之和＝边数＋2)(定理7)(3)平面图G=,|V|=v,|E|=e,v若≥3，则e≤3v−6(定理8)第2页共16页第1页共16页v4v5EFAv2v3BCv1D（a）(b)图6－1v1v1dv4v2v5fhagecv3v4v2bv3D1D2图6－2编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共16页判定条件：图G是平面图的充分必要条件是G不含与K3，3或K5在2度结点内同构的子图.4.树树连通无回路的无向图.树的判别图T=,|V|=n,|E|=m,T是树的充分必要条件是(六个等价定义)(定理14):(1)T是无回路的连通图；(2)图T无回路且m＝n－1；(3)图T连通且m＝n－1(4)图T无回路，若增加一条边，就得到一条且仅一条回路；(5)图T连通，若删去任一边，G则不连通；(6)图T的每一对结点之间有一条且仅有一条通路.生成树图G的生成子图是树，该树就是生成树.权与带权图n个结点的连通图G，每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图.G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权，记作W(T).最小生成树带权最小的生成树.有向树有向图删去边的方向为树，该有向图就是有向树.根树与树根非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树.每个结点的出度小于或等于2的根树为二元树(二叉树)；每个结点的出度等于0或2的根树为二元完全树(二叉完全树)；每个结点的出度等于2的根树称为正则二元树(正则二叉树).哈夫曼树用哈夫曼算法得到的最优二叉树.4.有关树的求法生成树的破圈法和避圈法求法；最小生成树的克鲁斯克尔求法；哈夫曼树的哈夫曼求法.二、实例例6.1判别图6－1的两幅图是否可以一笔画出？解在图6－1(a)中，deg(v1)=deg(v2)=deg(v3)＝3有两个以上的结点的度为3.故在(a)中不存在欧拉通路，不能一笔画出.在图6－1(b)中，deg(A)=2,deg(B)=deg(C)=deg(D)=4，deg(E)=deg(F)=3只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出.一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF.例6.2判定图6－2中，两个图是否有欧拉回路？若有请把欧拉回路写出来.解在图D1中，v1点的出度为2，入度为0...
