实用标准文案精彩文档《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是n个。2、一阶微分方程2dyxdx的通解为2yxC（C为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为21yx，与直线y=2x+3相切的解是24yx，满足条件303ydx的解为22yx。3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。4、对方程2()dyxydx作变换uxy，可将其化为变量可分离方程，其通解为tan()yxCx。5、方程过点共有无数个解。6、方程''21yx的通解为4212122xxyCxC，满足初始条件13|2,|5xxyy的特解为421912264xxyx。7、方程无奇解。8、微分方程2260dydyydxdx可化为一阶线性微分方程组6dyzdxdzzydx。9、方程的奇解是y=0。10、35323dydyxdxdx是3阶常微分方程。11、方程22dyxydx满足解得存在唯一性定理条件的区域是xoy平面。12、微分方程22450dydyydxdx通解为512xxyCeCe，该方程可化为一阶线性微分方程组21ddyxy)1,2(xxyxyddyxydd实用标准文案精彩文档45dyzdxdzzydx。13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()yxyx成为其基本解组的充要条件是线性无关。14、设1342A，则线性微分方程组dXAXdt有基解矩阵25253()4tttteetee。二、解方程（每个小题8分，共120分）1、答案：方程化为令，则，代入上式，得分离变量，积分，通解为∴原方程通解为2、答案：特征方程为即。特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为∴原方程组的通解为。0dd)2(yxxyxxyxy21ddxuyxuxuxydddduxux1dd1CxuxCxy2yxtyyxtx4dddd01411EA032231120031413111ba2111ba122122battttCCyx2ee2ee2331实用标准文案精彩文档3、答案：齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+4、2xydydx；答案：2xydydx是一个变量分离方程变量分离得22yxdydx两边同时积分得22yxc（其中c为任意常数）5、答案：积分：故通解为：6、0)(22xdydxyxxy答案：0)(22dxyxxxdyydx两边同除以22yx得022xdxyxxdyydx，即021)(2dxyxarctgd，故原方程的解为Cxyxarctg221xyxy2e3ddxCy3exxCy3e)(CxCx5e51)(xCy3ex2e51xyexydxdyxyxexyedxdyxyxydxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxydxxedxyxyxdxedxyxycxexy2210212cexxy实用标准文案精彩文档7、2453dxxydtdyxydt.答案：方程组的特征方程为203AE45即(2)(3)(4)(5)0，即25140特征根为17，22对应特征向量应满足1127405370ab，可得1145ab同样可算出22时，对应特征向量为2211ab∴原方程组的通解为72127245ttttxeeCCyee8、答案：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为9、0)2()122(dyyxdxyx答案：，令z=x+y，则所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+sincos2xxtt0xx210i1()sinftti(cossin)xtAtBt122()cos2ftt2icos2sin2xAtBt13A1211cossincoscos223xctctttt2)(1)(2yxyxdxdydxdydxdz1,212121zzzzdxdzdxdzzz121C3|1|z1C实用标准文案精彩文档即10、220dxdxxdtdt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。其特征方程为210特征根为11322i，21322i∴方程的通解为13131()()22222121233(cossin)22itittxcecectcte11、312yxyxdxdy答案：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0所以三、证明题（共160分）1、（12分）证明如果满足初始条件的解，那么。证明：设的形式为=（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得=又=所以C==代入（1）得=即命题得证。yxCeyx23)1(2y2y212x331dyCyyxxyx3312132Axxt/）是（)(0t)(t)(0ttAe)(t)(tCeAt)(0tCeAt01)(0Ate0Ate1)(0Ate0Ate)(t)(00ttAAtAteee实用标准文案精彩文档2、（12分）设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为。证明：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。显然是方程的两个常数解。任取初值，其中,。记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾；故该解的存在区间必为。3、（12分）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C．证明：设，是方程的两...
