1微积分在电磁学中的应用1引言微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一,它是用一种运动的思想看待问题,使我们研究变量更加容易.微积分是与应用联系着并发展起来的,它在很多学科中都有着广泛的应用,并发挥着重要的作用,在电磁学方面微积分也对其产生了深刻的影响.本文对使用微积分求一些物理量诸如电场强度、电通量、磁感应强度、电势、感应电动势等进行分析来说明微积分的应用.其基本思想是先把一个复杂的带电体分割成无穷多个电荷元,再求出每一部分对应的值最后利用积分求总值.其中涉及了定积分,二重积分等方面的内容在电磁学中的应用.尤其是在计算积分时应建立适当的坐标系,确定积分微元,正确写出被积函数以及上下限等.本文就微积分在电磁学中的应用的一些具体实例进行探讨,以说明微积分应用之广泛.2电场中微积分的应用2.1有关电场的理论2.1.1场强比值0Fq是一个无论大小和方向都与试探电荷无关的矢量(其中F是两点电荷间的相互作用力,0q是很小很小的点电荷,为试探电荷.),它是反映电场本身性质的,我们把它定义为电场强度,简称场强,用E来表示,即0FEq,用文字来表示就是：某处电场强度定义为这样一个矢量,其大小等于单位电荷在该处所受电场力的大小,其方向与正电荷在该处所受电场力的方向一致.2.1.2场强叠加原理如果是几个电荷共同作用于此点,则场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场强度的矢量叠加,这也就是电场强度的叠加原理.2.1.3电荷的体密度，线密度,面密度电荷的体密度,就是单位体积内的电荷.取一体积元v包含P点,设在v内全部电荷的代数和为q,则P点电荷的体密度定义为e=0limvqv,应指出的是这里的“v0”是一种数学上的抽象,实际上只要v在宏观上看起来足够小就行了.电荷的线密度,它的物理意义是单位长度内的电荷.如果电荷分布在某根细线或细棒上,在数学上可这样处理,设细线的截面积为s,电荷的体密度为e.在细线上取长度为l的一段,它的体积为sl,其中包含的电荷量便是△q=esl.设想s0,e,但是保持它们的乘积ese为2一有限值,则eql,或e=ql,e称为电荷的线密度,在数学上可以写成e=0limlql.电荷的面密度,它的物理意义是单位面积内的电荷.在数学上,我们可以把一个导体的表面层的厚度视为,层内电荷的体密度为e.取面积为s的一块表面层,它的体积是s,其中的包含电荷量有qes,设想0,e,但是保持他们的乘积e=e为一有限值,则qes,或e=qs,e称为电荷的面密度,在数学上可以写成e=0limsqs.2.2电场中微积分的应用举例例1均匀带电细杆,长2l,带电荷q,求其中垂面上距杆为r的电场强度137P.oLLaarZdE+dE'dEdE'pdz'dzA图1解由于细棒关于其中垂面对称,因此求均匀带电细杆中垂面上的场强分布时,只需求细棒的中垂面与纸面交线为中垂线上任一点p点处的场强即可.很显然,直接利用公式2014rqEer(其中re是单位矢量)求p处的场强是不可以的.在本例题中,可以把电荷看成在带电细棒上的连续分布.选取棒的中点o为原点取坐标轴z沿细棒向上,将整个细棒分割成一对一的线元,线元dz距o点距离为z，p点距o点距离为r,其中每对线元dz和'dz对于中垂线op对称,所产生的元场强dE和'dE也关于中垂线对称.它们在垂直于op方向上的分量相互抵消矢量和为零,在中垂面上(称为r方向)场强大小为2dEcosa.这时dE就可以用2014dqdEr得出,由题及上图可知,带电细棒的线密度2eql,线元dz的带电量为edqdz,线元dz距p点的距离为22rz,22cosrarz,所以322014edzdErz,细棒在p点的总场强rE是所有这样一对对场强dE和'dE的矢量和,方向为r方向.因为电荷是连续分布的,求和实际上是沿细棒积分.令细棒在z轴所在平面与细棒的中垂面线上任一点p处的场强为E,则根据以上的分析223/22200002cos24()2lleerlrdzEEdEarzrrl.3电通量中微积分的应用3.1有关电通量的理论3.1.1当所取的面与该处场强垂直时,电通量EEs.3.1.2当所取的面与该处场强不垂直时,通过一面元s的电通量定义为该点场强的大小E与s在垂直于场强方向的投影面积's=coss的乘积,其中是面元s的法线矢量n与场强E的夹角.3.2有关电通量的计算中微积分的应用举例例2求通过包围点电荷q的同心球面的电通量.解以点电荷q所在处为中心,任意长r为半径做一球面,根据库仑定律,在球面上各点场强大小一样——E=0142qr,场强的方向沿半径向外辐射...
