选修4-4坐标系与参数方程1.极坐标系(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做________,从O点引一条射线Ox,叫做________,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的________,记为ρ,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=______,y=________.另一种关系为ρ2=________,tanθ=________.2.简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程θ=α(ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线;ρcosθ=a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线;ρsinθ=b表示过b,π2且平行于极轴的直线;ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)表示过(ρ1,θ1)且与极轴成α角的直线方程.(2)圆的极坐标方程ρ=2rcosθ表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆;ρ=2rsinθ表示圆心在r,π2,半径为|r|的圆;ρ=r表示圆心在极点,半径为|r|的圆.3.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数x=ft,y=gt.并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的________________,其中变量t称为________.4.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t为参数).(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为________________________(θ为参数).(3)椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为________________(θ为参数).(4)抛物线方程y2=2px(p>0)的参数方程为________________(t为参数).1.在极坐标系中,直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为________.2.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________.3.已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线x=4t2,y=4t(t为参数)上,则PF=________.4.直线x=-1+tsin40°,y=3+tcos40°(t为参数)的倾斜角为________.5.已知曲线C的参数方程是x=3t,y=2t2+1(t为参数).则点M1(0,1),M2(5,4)在曲线C上的是________.题型一极坐标与直角坐标的互化例1在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-π3)=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.思维升华直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验.在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.题型二参数方程与普通方程的互化例2已知两曲线参数方程分别为x=5cosθ,y=sinθ(0≤θ<π)和x=54t2,y=t(t∈R),求它们的交点坐标.思维升华(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角θ有关的参数方程,经常用到的公式有sin2θ+cos2θ=1,1+tan2θ=1cos2θ等.(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.将下列参数方程化为普通方程.(1)x=2t21+t2,y=4-2t21+t2(t为参数);(2)x=2-4cos2θ,y=-1+sin2θ(θ为参数).题型三极坐标、参数方程的综合应用例3在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,直线l的参数方程是x=-3+32t,y=12t(t为参数),M,N分别为曲线C、直线l上的动点,求MN的最...