平行四边形【学习内容】一.知识结构：二.具体知识点的梳理：1.平行四边形：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）性质：<1>平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。<2>平行四边形的对角线互相平分。（3）识别方法：<1>用定义识别。（从边看）<2>两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（从边看）<3>一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（从边看）<4>两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（从角看）<5>对角线互相平分的四边形是平行四边形。（从对角线看）（4）平行四边形的知识运用包括三个方面：<1>直接用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段、证明角相等、互补、证明线段相等或倍分。<2>判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行。<3>先判定一个四边形是平行四边形，再用平行四边形的性质去解决某问题。2.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）性质：<1>矩形的四个内角都是直角。<2>矩形的对角线相等且互相平分。<3>除上面两条以外，它还有平行四边形的一切性质。（3）矩形的识别方法：<1>有一个角是直角的平行四边形；<2>对角线相等的平行四边形；<3>有三个角是直角的四边形。3.菱形：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）性质：<1>菱形的四条边都相等。<2>菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。<3>菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。<4>它还拥有平行四边形的一切性质。（3）判定方法：<1>有一组邻边相等的平行四边形是菱形。<2>对角线互相垂直的平行四边形是菱形。<3>四边都相等的四边形是菱形。4.正方形：（1）定义：<1>有一个角是直角的菱形是正方形。<2>有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）性质：<1>它拥有四边形、平行四边形、菱形、矩形的一切性质。<2>正方形的一条对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形。两条对角线将其分成四个全等的等腰直角三角形。（3）判定方法：<1>一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形是正方形。<2>一组邻边相等的矩形是正方形。<3>一个角是直角的菱形是正方形。<4>既是菱形又是矩形的四边形是正方形。4.梯形（1）定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。（2）等腰梯形的性质：<1>等腰梯形同一底边上的两个内角相等。<2>等腰梯形的两条对角线相等。【典型例题】例1.如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，试求AD与BC之间的距离。分析：此题看似无法求解，但注意观察告知AD之长，又求AD与BC之间距离，而AD×AD与BC间的距离＝S平行四边形ABCD，因而我们可以想到用面积法求解。只需找到平行四边形的另外一种面积表示方法即可。解：例2.如图2，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，四边形AECF是平行四边形吗？分析：这里AE⊥BD，CF⊥BD，可知AE//CF，但要说明四边形AECF是平行四边形，还需AE＝CF。解：四边形AECF是平行四边形，因为AE＝CF刚才已证明AE//CF故四边形AECF是平行四边形。例3.如图3，在平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点，试说明四边形MNPQ是平行四边形。分析：此题中中点较多，而且还与角平分线有关，故可以思考从角平分线互相平分的角度入手进行说明。解：在平行四边形ABCD中，DB、AC是对角线，而M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点同理OQ＝ON即在四边形MNPQ中，其对角线互相平分，因此四边形PQMN是平行四边形。例4.如图4，D、E、F分别在三角形ABC的边BC、AB、AC上，且DE//AF，DE＝AF，G在FD的延长线上，DG＝DF，试说明AG和ED互相平分。分析：要说明两条线段互相平分，最好的方法之一是说明这两条线段为一个平行四边形的对角线，从而将问题转化为平行四边形的识别问题了。解：故四边形DEAF是平行四边形所以AE//DF，AE＝DF又DG＝DF，故AE＝DG而AE//DF，故AE//DG所以四边形AEDG是平行四边形故其对角线ED、AG互相平分。例5.如图5，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，M为AB的中点，说明CM⊥DM。分析：DM⊥CM，直接证明较有困难，但观察题目中有AB＝2BC，M是中点，...
