1数形结合思想及应用1引言“数”与“形”是数学的两大研究对象，而数形结合思想正是连接这两者之间的一座重要桥梁．它不仅推动整个数学历史的发展，而且帮助我们深刻认识数学问题的实质．提高人们自身的数学素养;它不仅是一种解题方法，而且可以作为一种基本的、重要的数学思想来学习、研究和应用．2数形结合思想的内涵及背景介绍2.1数形结合思想的内涵数形结合思想是研究数量关系和空间形式的科学，通过对图象的认识，数形转化，以提高思维的灵活性，形象性，直观性，使问题化难为易，化抽象为具体，从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质．2.2历史背景数形结合思想在数学发展中起到了非常重要的作用．早在数学的萌芽时期，人们在度量与测量中已把数与形结合起来了．数形结合是中国传统数学的基本方法之一．在我国古代，数学称为算术，对于形的问题往往用数去计算，并用形的解析法去证明数的计算结果．早在先秦时代这一思想就初见端倪，公元前1世纪成书的《九章算术》分别属于“方田”，“少广”，“商功”，“勾股”等章中有更多这方面的应用，在这些章中对图形的研究表现为数量的计算，成功的将几何原理应用于代数．如《九章算术》中的开平方，开立方都源于几何，此外，刘徽还用出入相补的几何方法得出了求整勾股弦的一般公式．由此可以看出几何方法与代数方法的相互渗透，数与形的巧妙结合成为了《九章算术》的又一个显著的思想特征)43](1[P．在西方，数形结合思想发展经历了两个阶段．第一个阶段是建立数轴，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算（特别是有理数的运算）也可以几何化；第二阶段是从数轴到平面（直角）坐标系，把有序实数对与平面上的点一一对应起来，从而使得作为点的轨迹的平面曲线与数对所满足的二元方程的解集一一对应起来]2[，从而诞生了《解析几何》，实现了代数与几何的有机结合，使数学发展进入了一个崭新的阶段．近代数学中，从几何的角度看，代数和几何结合产生了代数几何，分析和几何结合产生了微分2几何；而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析（以及其他学科）提供几何背景，解释和研究课题，促进它们的发展；并使数学在实践中的应用更加广泛和深入]3[．数形结合在数学发展中具有重要意义，正如法国数学家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）在《数学概要》一书中说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄．但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸引新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”．3数形结合思想的广泛应用3.1数形结合思想的几种具体体现整个数学都是以数和形作为研究对象的，它们研究的内容和使用的方法虽然有区别但都是相互联系，相互转化的．初等数学的几种典型的数形结合方法包括以数表形，见形思数和坐标法．3.1.1以数表形以数表形，就是根据数的结构特征，构造出相应的几何图形，并用几何图形的特征来解决有关数学问题．例1已知,,,xyzr都是正数，并且222xyz，222zxyx．求证：rzxy．解析由式子222xyz，联想到勾股定理，又由式子222zxyx会想到射影定理，于是只要以,xy为直角边，z为斜边作出直角三角形ABC及其斜边上的高r(如图3.1所示)，就可得出结论．例2已知0ab，求证abab．解因为0ab，注意隐含条件222abba．如图3.2，构造直角三角形ABC，取ABa，ACb，BCab，由三角形性质两边之差小于第三边得ABACBC，即abab．3.1.2见形思数见形思数，即某些有关图形性质的问题，可转化为数量关系的问题，借助代数运算，三角运算或向量运算常可化难为易，获得简单易行的解题方案．例1在四面体ABCD中，如图3.3所示，已知ABCD，ADBC．求证:ACBD．CBAxyz图3.1ba-baCBA图3.2Dr3分析本题可利用两个非零向量a，b垂直的充要条件是0ab．证明设AB=b，cAC，dAD，则bcBC，cdCD，.dbDB因为ABCD，所以0ABCD．所以0bdc，bdbc⋯⋯①，同理由ADBC可得dcdb⋯⋯②比较①，②式有cbcd即0cdb，所以即ACBD．注这道题也可用三垂线定理及逆定理进行证明，但不如向量证法即直观又简单，向量是沟通数与形内在联系的有力工具．例2平行四边形ABCD，求证222222AB...
