八年级数 研究性学习 钟表里的数学浙教版VIP免费

同学们，我们每天的日常生活都离不开表，但是你们知道表中还隐藏着什么样的有趣的数学知识吗？让我们一起研究研究。不知你是否观察过钟表上的时针和分针，它们总是成一定角度。那么，你是否知道它们什么时候重合？什么时候成一条直线？什么时候成直角？其中有什么规律？问题一：这类问题实际上是分针追时针的追击问题，它的公式是：21VVST追(1).两针重合时的位置:图一图二我们知道两表针在12:00时会重合(如图一),设下一次重合位置为图二,时针走过的路程用黄线表示,分针走过的路程用红线+棕红线表示,追及路程S为绿线所示，恰为一周。1V2VS解法一：取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则)(60格S)/(11分格V)/(1212分格V（分）追1156511720121160T解法二：取钟表上的一大格（即一小时）为单位路程，则)(12格S)/(121时格V)/(12时格V（分）（时）追115656011111111111211212T结果相同。根据以上计算，每隔分时针和分针重合一次。11565在一天中它们重合的次数是：（次）22117206024N它们的位置分别是：00:24,11654:22,11149:21,11743:20,11238:19,11832:18,11327:17,11921:16,11416:15,111010:14,1155:13,00:12,11654:10,11149:9,11743:8,11238:7,11832:6,11327:5,11921:4,11416:3,111010:2,1155:1(2).两针成一线时的位置:图一我们知道两表针在6:00时会成与一线(如图一),设下一次成一线的位置为图二,时针走过的路程用黄线表示,分针走过的路程用红线+棕红线表示,追及路程S为绿线所示，恰好为一周，因此，此问题的解答与(1)完全类似。即每隔分时针和分针成一线，一天内表针将22次成一线。11565图二S1V2V(3).两针垂直时的位置:两表针在3:00时垂直(如图一),设下一次垂直的位置为图二,时针走过的路程用黄线表示,分针走过的路程用红线表示,追及路程S为绿线所示。由于蓝角与绿角互补，红角也与绿角互补，所以，红角=蓝角，故图中两黄线部分相等。因此，追及路程恰好为半周。图一图二2V1VS解：取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则)(30格S)/(11分格V)/(1212分格V（分）追1183211360121130T方法二：S图一图二将时针看作是不动的，分针以相对时针的速度（二者的速度差）追及时针。两表针在3:00时垂直(如图一),下一次垂直的位置为图二,分针走过的路程用绿线表示，这也就是追及的路程S，恰好为圆周的半圈。时分VV解：取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则)(30格S)/(12111分格V)/(02分格V（分）追1183211360012130T当两针再次重合时，又回到图一的情况，因此，每隔分两针相互垂直11832根据以上计算，每隔分时针和分针垂直一次。11832在一天中它们重合的次数为（次）44113606024N它们的位置分别是：.11327:2,,00:9,11327:8,11654:7,11921:7,11149:6,11416:6,11743:5,111010:5,11238:4,1155:4,11832:3,00:3时针与分针还可以成20度、30度或其它度数的角，它们在一天中会出现几次？分别在哪些位置？其实，分析方法与相互垂直时完全类似，请你也试一试。推广：在分析此问题时，我们用到了追及问题的知识、数形结合法、用字母表示数、求代数式的值以及圆和角度的一些知识。小结：问题二：如果一个工人师傅错把一块表的时针和分针安反了，那么这块表还能正确表示所有时间吗？答案是否定的，除了两针重合时能正确表示时间外，表针在其它位置均无法表示时间例如：正常装错3：0012：00？×12：15？×问题三：表是用来反映时间的工具，但如果你的表不准，你是否可以根据它来判断其他人的表准不准呢？答案是肯定的。下面由我来告诉你们方法。设：表A比标准时间一小时快a，表B比表A每小时快b。那么，表B是否准确？分析：标准时间一小时中B所走的时间：当A走1小时时，B走b+1小时；当标准时为1小时时，A走a+1小时；设：B走x小时。A、B两表速度成比例，应有：111bax)1)(1(bax准若Bba1)1)(1(不准若Bba1)1)(1(这就是判断B表准不准的判据。下面，让我们根据上面的判据来判断一下：分析：)(601)(601时时ba不准）（13600359960596061]6011)[6011()1)(1(ba例：我的表比标准时间每小时快1分，王骁的表比我的表每小时慢1分，王骁的表准吗？分析此问题时，我们应用了比例的性质、用字母表示数、用负数表示相反意义的量、列代数式、化简代数式及有理数运算六大知识。小结：