.'.第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXX的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXX的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。2.2设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为1/212221121122221221211()exp()()22fxxμxμ。2.3已知随机向量12()XX的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()dcxabaxcxaxcfxxbadc其中1axb，2cxd。求（1）随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；（2）随机变量1X和2X的协方差和相关系数；（3）判断1X和2X是否相互独立。（1）解：随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；.'.112121222[()()()()2()()]()()()dxcdcxabaxcxaxcfxdxbadc12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddccdcxaxbaxcxaxcdxbadcbadc121222202()()2[()2()]()()()()ddccdcxaxbatxatdtbadcbadc22121222202()()[()2()]1()()()()dcdcdcxaxbatxatbadcbadcba所以由于1X服从均匀分布，则均值为2ba，方差为212ba。同理，由于2X服从均匀分布2121,()0xxcdfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。（2）解：随机变量1X和2X的协方差和相关系数；12cov(,)xx12121212222[()()()()2()()]22()()dbcadcxabaxcxaxcabdcxxdxdxbadc()()36cdba1212cov(,)13xxxx（3）解：判断1X和2X是否相互独立。1X和2X由于121212(,)()()xxfxxfxfx，所以不独立。2.4设12(,,)pXXXX服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相.'.互独立的随机变量。解：因为12(,,)pXXXX的密度函数为1/21111(,...,)exp()()22ppfxxΣxμΣxμ又由于21222pΣ22212pΣ212122111pΣ则1(,...,)pfxx211/22222121221111exp()()221pppΣxμΣxμ222123111222212()()()1111exp...2222pppppxxx2121()1exp()...()22piipiiixfxfx则其分量是相互独立。2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为.'.1?niinμXX1?()()niiinΣXXXX35650.0012.33?17325.00152.50μX201588000.0038900.0083722500.00-736800.0038900.0013.06716710.00-35.80?83722500.0016710.0036573750.00-199875.00-736800.00-35.800-199875.0016695.10Σ注：利用11pnn1XX,S1()nnnn11XIX其中1001nI在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：1.选择菜单项Analyze→DescriptiveStatistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。图2.1Descriptives对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。.'.图2.2Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。表2.1样本均值向量在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：1.选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开BivariateCorrelations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。图2.3BivariateCorrelations对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。选择Cross-productdeviationsandcovariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。.'.图2.4Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，PearsonCorrelation为皮尔逊相关系数矩阵，SumofSquaresandCross-products为样本离差阵。）2.6渐近无偏性、有效性和一致性；2.7设总体服从正态分布，~(,)pNXμΣ，有样本12,,...,nXXX。由于X是相互独立的正态分布随机向量之和，所以X也服从正态分布。又111()nnniiiiiEEnEnnXXXμμ2211111()nnniiiiiDDnDnnnΣXXXΣ所以~(,)pNXμΣ。.'.2.8方法1：11?()()1niiinΣXXXX111niiinnXXXX11?()()1niiiEEnnΣXXXX111niiiEnEnXXXX111(1)11ninnnnnΣΣΣΣ。方法2：1()niiiSX-X)(X-X1((niiiX-μXμ)X-μX...
