多边形的内角和【目标预览】知识技能：1．掌握多边形内角和定理2．掌握多边形外角和定理数学思考：进一步理解多边形的问题需要转化为三角形的问题来加以解决解决问题：灵活运用多边形内角和与外角和定理解决有关问题情感态度：在运用多边形有关知识解决问题的过程中体会将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想【教学重点和难点】重点：多边形的内角和定理极其推论难点：学会善于运用三角形的有关知识来研究多边形的问题，能够灵活运用多边形内角和与外角和解决相关的问题【教学设计】活动1多边形的内角和1．提出问题三角形的内角和是180°，外角和是360°；长方形的内角和是360°，外角和是360°；正方形的内角和是360°，外角和是360°；其他的四边形的内角和等于多少度？外角和又是多少度？其他多边形的内角和与外角和又如何来求呢？2．观察、思考、交流、讨论从一个n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，这些对角线将n边形分为（n-2）个三角形，从而可推出n边形的内角和为180°×（n-2）。3．引导学生总结n边形的内角和为（n-2）·180°。4．教师点评（1）求多边形的内角和的方法是将多边形剖分成三角形，再利用三角形的内角和定理推出多边形的内角和。（2）若用表示多边形的内角和，则=（n-2）·180°构成了一个等式。在这个等式中，已知n可以求出，反过来已知，也可以求出n的值。5．范例精析1）例1（1）正八边形的每一个内角为度；（2）一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2750°，则这个多边形的边数为；（3）已知五边形的五个内角的度数之比为2：3：4：5：6，则这个五边形的最大内角为度。2）分析：（1）由正八边形的每个内角都相等，因此只需求出八边形的内角和即可；（2）因为多边形的内角和为180°的整数倍数，且凸多边形的每一个内角都小于180°，故0<（n-2）·180°-2750°<180°，而2750°>（17-2）×180°，这说明边数应大于17，又2750°<（19-2）×180°，这说明多边形的边数应小于19。所以多边形的边数为18。（3）要求五边形的最大内角，又已知各内角之间的比例关系，则应先利用多边形的内角和定理求出五边形的内角和，再按比例计算出各内角的度数。即2x+3x+4x+5x+6x=540，从而求出最大内角的度数。3）解答：略4）小结：已知多边形的边数求内角和则直接运用公式计算，已知多边形的内角和求多边形的边数则需通过设未知数列出方程求解。活动2多边形的外角和1．提出问题多边形的内角和会求了，那么多边形的外角和怎么求呢？2．观察、思考、交流、讨论引导学生自己探究，总结。3．引导学生总结多边形的外角和等于360°。4．教师点评（1）在一个多边形的每一个顶点处取多边形的一个外角，它们的和称为多边形的外角和。（2）多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。5．范例精析1）例2（1）已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。（2）一个多边形的每一个外角都等于45°，求这个多边形的边数。2）分析：设多边形的边数未知数n，根据多边形的内角和定理与外角和定理列方程求解。3）解答：（1）设多边形的边数为n,因为它的内角和等于（n-2）·180°，其外角和等于360°。所以（n-2）·180°=2×360°解得n=6∴这个多边形的边数为6。（2）设多边形的边数为m，根据外角和定理有：45m=360所以m=8即这个多边形的边数为8。4）小结：设多边形的边数为n，根据多边形的内、外角和定理，依题意列方程求解是解决这类问题的常用方法。【一试身手】教材P89课堂练习【总结陈词】（1）求解多边形的内角的基本方法是连接多边形的对角线，化多边形的问题为三角形的问题。（2）涉及多边形的内角问题还可利用外角求解，这是因为多边形的内角和的度数，随着边数的变化而变化，而外角和则是一个定值，是一个不变的量。【实战操练】教材P90-91习题2、3、4、5、6、7、8、9、10
