九年级数学角的平分线(2)北师大版VIP专享VIP免费

角的平分线(2)教学目标1.会阐述原命题和逆命题之间的关系，能识别两个互逆的命题，并会写出题设和结论较为简单的命题的逆命题.2.会举例说明一个定理不一定有逆命题.3.会正确的区别应用角平分线的性质定理1和性质定理2.教材分析1.教学重点：会写出题设和结论较为简单的命题的逆命题.2.教学难点：角平分线的性质定理1和性质定理2的应用。教学过程1.观察下表的各组命题中的命题1和命题2，你发现了什么？命题1命题2一在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。二两直线平行同位角相等同位角相等两直线平行三全等三角形的对应边相等有三边对应相等的两个三角形全等四全等三角形的对应角相等有三个角对应相等的两个三角形全等2．出下列命题的逆命题（1）对顶角相等；（2）等角的余角相等；（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（4）如果两个角相等，那么这两个是对顶角；3．下列说法正确吗？如果不正确，请举出反例。（1）每个命题都有逆命题；（2）一个命题的逆命题一定是真命题；（3）一个命题的逆命题一定是假命题；（4）每个定理都有逆定理。4．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.例1.已知：如图3.9(1)△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.1.已知：如图3.9(2)BP、CP是△ABC的外角平分线.求证：点P在∠BAC的平分线上.ABCPFE图3.9（2）2.如图3.9(3)，已知∠C=Rt∠，∠1=∠2，若BC=8，BD=5，求D到AB的距离。课堂小结1．每个命题都有逆命题，每个定理不一定有逆定理.2．互逆的定理,从正反两个方面揭示了图形的性质,因此必须区分应用它们.课堂检测1.已知：如图3.9(4)，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC。分析：本题考察“HL”公理的应用。要证BE⊥AC，可证∠C+∠1=90°，而∠2+∠1=90°，只需证∠2=∠C。从而转化为证明它们所在的△BDF与△ADC全等，而这由“HL”公理不难得证。证明：∵AD⊥BC∴∠BDA=∠ADC=90°∴∠1+∠2=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠C∴∠1+∠C=90°1ABC2D图3.9(3)图3.9(4)∴∠BEC=90°∴BE⊥AC2.已知：如图3.9(5)，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1=∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∵∠1=∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）∵D是BC的中点∴BD=CD∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴∠BED=90°，∠CFD=90°在Rt△BDE和Rt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE=CF同理可证AE=AF∴AE+BE=AF+CF即AB=AC图3.9(5)