抛物线及其性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点抛物线的定义及标准方程①了解抛物线的定义,并会用定义进行解题;②掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2019课标全国Ⅰ,21,12分抛物线定义及方程圆的方程,圆的几何性质,抛物线的几何性质★★☆抛物线的几何性质①知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);②能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用2019课标全国Ⅱ,9,5分抛物线的几何性质椭圆的几何性质★★☆2016课标全国Ⅱ,5,5分抛物线的几何性质等轴双曲线直线与抛物线的位置关系①会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系;②根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题2018课标全国Ⅰ,20,12分直线与抛物线的位置关系直线的方程,定值问题的证明★★★2019课标全国Ⅲ,21,12分直线与抛物线的位置关系直线过定点,圆的方程,直线与圆的位置关系分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法及数学语言的考查.破考点练考向【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2019河北衡水三模,6)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|⃗FA|+|⃗FB|+|⃗FC|=10,则x1+x2=()A.6B.5C.4D.3答案A2.(2020届贵州贵阳摸底,14)若直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与C相交于A,B两点,且线段AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为.答案y2=4x或y2=8x3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案54考点二抛物线的几何性质1.(2019皖中地区调研,9)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.❑√22D.3❑√24答案D2.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|AF|·|BF||AF|+|BF|=()A.a2B.a4C.2aD.4a答案B考点三直线与抛物线的位置关系答案B2.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,1|AF|+1|BF|=.(本题第一空2分,第二空3分)答案2;13.(2020届河南百校联盟10月联考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=x+1与抛物线C相切于点P,过点P作抛物线C的割线PQ,割线PQ与抛物线C的另一个交点为Q,A为线段PQ的中点,过A作y轴的垂线,与直线l相交于点N,M为线段AN的中点.(1)求抛物线C的方程;(2)求证:点M在抛物线C上.答案(1)由{y=x+1,y2=2px得y2=2p(y-1),即y2-2py+2p=0①.(1分)依题意得,Δ=(-2p)2-8p=0,由p>0,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(4分)(2)证明:将p=2代入①得y2-4y+4=0,解得y1=y2=2,将y=2代入y=x+1,得x=1,所以点P(1,2).(5分)设Q(m,n),则n2=4m,因为A为线段PQ的中点,所以A(m+12,n+22).(7分)联立{y=x+1,y=n+22,得N(n2,n+22),所以线段AN的中点M的坐标为(m+n+14,n+22),(9分)又4×m+n+14=n24+n+1=(n+22)2,满足y2=4x,(11分)所以线段AN的中点M在抛物线C上.(12分)炼技法提能力【方法集训】方法1求抛物线的标准方程的方法1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x答案B2.(2019湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是()A.y2=8xB.x2=8yC.y2=4xD.x2=4y答案A3.(2020届山西康杰中学期中,14)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3❑√5,则此抛物线的方程为.答案y2=4x或y2=-36x方法2抛物线定义的应用策略1...
