[第66讲数系的扩充与复数的引入](时间：45分钟分值：100分)1．[2013·天津卷]i是虚数单位，复数＝()A．2＋iB．2－iC．－2＋iD．－2－i2．[2013·大连模拟]复数＝()A．1B．－1C．iD．－i3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－14．[2013·吉林模拟]设ω＝－＋i，则1＋ω等于()A．－ωB．ω2C.D．－5．[2013·河南示范性高中检测]已知复数z1＝2＋i，z2＝3－i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为()A．0B.C．1D．26．若i为虚数单位，图K66－1中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()图K66－1A．EB．FC．GD．H7．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝()A．2B.C.D．18．[2013·河南示范性高中检测]若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i9．[2013·长春调研]复数的共轭复数为()A．－＋iB．－－iC.－iD.＋i10．[2013·上海卷]计算：＝________(i为虚数单位)．11．若复数z＝cosθ－sinθ·i所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．12．[2013·哈尔滨模拟]已知M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，M∩N＝{3}，则实数a＝________．13．[2013·大连模拟]若(1＋ai)2＝－1＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则|a＋bi|＝________．14．(10分)已知复数z1＝＋i，|z2|＝2，z1×z是虚部为正数的纯虚数．(1)求z1×z的模；(2)求复数z2.15．(13分)已知复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合．16．(12分)已知z∈C，且z＝(t∈R)，求复数z对应的点的轨迹．课时作业(六十六)【基础热身】1．B[解析]本题考查复数的运算，考查运算求解能力，容易题．＝＝＝2－i.2．B[解析]由复数的代数运算，得(1－i)2＝－2i，故原式＝－1.3．D[解析]由(a＋i)i＝b＋i得－1＋ai＝b＋i，根据复数相等的充要条件，得a＝1，b＝－1，故选D.4．D[解析]1＋ω＝＋i，－ω＝－i，ω2＝－－i，＝＝－＋i，－＝－＝＋i.故选D.【能力提升】5．C[解析]＝＝＝＝＋i，∴其实部与虚部之和为＋＝1.6．D[解析]由点Z(x，y)的坐标知z＝3＋i，故＝＝＝2－i，因此表示复数的点是H.7．B[解析]＝|1－ai|＝＝2，由于a为正实数，所以a＝，故选B.8．A[解析]本题考查复数的概念及运算，考查运算能力，容易题．设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(2－i)＝(2a＋b)＋(2b－a)i＝11＋7i，即解之得∴z＝3＋5i.9．B[解析]＝＝＝＝－＋i，其共轭复数为－－i.10．1－2i[解析]考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质就是分母实数化运算．原式＝＝1－2i.11．一[解析]由条件知cosθ>0，－sinθ<0，即cosθ>0，sinθ>0，故θ为第一象限角．12．－1[解析]由题意知3∈M，故(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，所以解得a＝－1.13.[解析]∵(1＋ai)2＝－1＋bi，∴1－a2＋2ai＝－1＋bi，∴∴或∴|a＋bi|＝＝＝.14．解：(1)|z1×z|＝|z1||z|＝|z1||z2|2＝8.(2)z1×z是虚部为正数的纯虚数，∴z1×z＝8i，z＝＝＝2＋2i.设复数z2＝a＋bi(a，b∈R)，∴a2－b2＋2abi＝2＋2i，解之得或∴z2＝±(＋i)．15．解：由题意得z＝(m2＋m－1)－(4m2－8m＋3)i.因为z对应的点位于第一象限，所以即解得所以＜m＜，所以m的集合为.【难点突破】16．解：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，∴x＋yi＝＝＝.据复数相等，可得①2＋②2得x2＋y2＝1.③由①②可知，x，y是③的解，但是否是曲线上的点呢？我们可通过求x或y的范围来考虑．由①得t2＝≥0，即∴－1＜x≤1.而由③得y2＝1－x2≥0，∴－1≤x≤1.综上，所求轨迹应是单位圆，除去(－1，0)点．
