专题十四坐标系与参数方程探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点坐标系与极坐标①了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换;②了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化;③能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程2018课标全国Ⅰ,22,10分极坐标与直角坐标的互化直线与圆的位置关系★★★2017课标全国Ⅱ,22,10分极坐标与直角坐标的互化三角形的面积2019课标全国Ⅲ,22,10分极坐标与极坐标方程的求解极坐标的概念2019课标全国Ⅱ,22,10分求极坐标方程极坐标的概念参数方程了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质2018课标全国Ⅱ,22,10分参数方程与普通方程的互化直线参数方程的应用★★★2018课标全国Ⅲ,22,10分参数方程与普通方程的互化直线与圆的位置关系2019课标全国Ⅰ,22,10分参数方程与普通方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程的应用分析解读坐标系与参数方程是高考的选考部分,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本专题内容在高考中以极坐标方程或参数方程为载体,考查直线与圆以及直线与圆锥曲线的位置关系等知识,分值为10分,属于中档题.破考点练考向【考点集训】考点一坐标系与极坐标1.(2020届河北邢台第一次联考,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=2cosα,y=2+2sinα(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线M的极坐标方程为ρ2sin2θ=32(0<θ<π2).(1)求曲线C的极坐标方程;(2)已知β为锐角,直线l:θ=β(ρ∈R)与曲线C的交点为A(异于极点),l与曲线M的交点为B,若|OA|·|OB|=16❑√2,求l的直角坐标方程.答案(1)由题知曲线C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,(2分)即x2+y2=4y.(3分)所以ρ2=4ρsinθ,即ρ=4sinθ,(4分)故曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(5分)(2)因为曲线M的极坐标方程为ρ2sin2θ=32(0<θ<π2),所以ρ=❑√32sin2θ,将θ=β代入,得|OB|=4❑√2❑√sin2β.(7分)因为曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,所以|OA|=4sinβ.(8分)所以|OA|·|OB|=16❑√2❑√sin2βsin2β=16❑√tanβ=16❑√2,(9分)则tanβ=2,故l的直角坐标方程为y=2x.(10分)2.(2019豫南九校联考,22)在直角坐标系xOy中,直线l:y=❑√3x,曲线C1的参数方程为{x=cosα,y=1+sinα(α为参数),M是C1上的动点,P点满足⃗OP=3⃗OM,P点的轨迹为曲线C2.(1)求直线l与曲线C2的极坐标方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.答案(1)设P(x,y),则由条件知M(x3,y3).由于M点在C1上,所以{x3=cosα,y3=1+sinα(α为参数),即{x=3cosα,y=3+3sinα(α为参数),(2分)从而C2的参数方程为{x=3cosα,y=3+3sinα(α为参数),(3分)则C2的极坐标方程为ρ=6sinθ.易知直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R).(5分)(2)易求曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ,(6分)因为曲线C2的极坐标方程为ρ=6sinθ,直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R),所以直线l与曲线C1的交点A的极径ρ1=2sinπ3.(7分)直线l与曲线C2的交点B的极径ρ2=6sinπ3,(8分)所以|AB|=|ρ2-ρ1|=4sinπ3=2❑√3.(10分)考点二参数方程1.(2020届山西长治二中等六校9月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=3+❑√32t,y=12t(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的中点P到坐标原点O的距离.答案(1)将t=2y代入x=3+❑√32t,整理得x-❑√3y-3=0,所以直线l的普通方程为x-❑√3y-3=0.由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入ρ2=4ρcosθ,得x2+y2-4x=0,即曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)设A,B对应的参数分别为t1,t2.将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(3+❑√32t-2)2+(12t)2=4,化简得t2+❑√3t-3=0,由根与系数的关系得t1+t2=-❑√3,于是tP=t1+t22=-❑√32.设P(x0,y0),则{x0=3+❑√32×(-❑√32)=94,y0...
