（考前大通关）高考数学二轮专题复习 第二部分应试高分策略《第五讲 高考热点问题》考前优化训练 理VIP免费

1．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解：∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴此二次函数图象的对称轴为x＝a.(1)当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1.(2)当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.综上所述，实数a的取值范围为[－3,1]．2.如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4，直线m：kx－y＋1＝0.(1)求证：直线m与圆O有两个相异交点；(2)设直线m与圆O的两个交点为A、B，求△AOB面积S的最大值．解：(1)证明：直线m：kx－y＋1＝0可化为y－1＝kx，故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O：x2＋y2＝4内部，所以直线m与圆O恒有两个不同交点．(2)圆心O到直线m的距离为d＝，而圆O的半径r＝2，故弦AB的长为|AB|＝2＝2，故△AOB面积S＝|AB|×d＝×2×d＝＝而d2＝，因为1＋k2≥1，所以d2＝∈(0,1]，显然当d2∈(0,1]时，S单调递增，所以当d2＝1，即k＝0时，S取得最大值，此时直线m的方程为y－1＝0.3.四棱锥P－ABCD如图所示．(1)在四棱锥中，E为线段PD的中点，求证：PB∥平面AEC；(2)在四棱锥中，F为线段PA上的点，且＝λ，则λ为何值时，PA⊥平面DBF？并求此时几何体F－BDC的体积．解：(1)证明：连接AC、BD，设交点为O，连接OE，∵OE为△DPB的中位线，∴OE∥PB.∵EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB∥平面AEC.(2)过O作OF⊥PA，垂足为F.连接OP、FA、FB.在Rt△POA中，PO＝1，AO＝，PA＝2，∵PO2＝PF·PA,1＝2PF，∴PF＝，FA＝，λ＝＝.又∵PA⊥BD，∴PA⊥平面BDF.当＝时，在△PAO中，过F作FH∥PO，则FH⊥平面BCD，FH＝PO＝.S△BCD＝×2×＝.∴V＝S△BCD·FH＝××＝.4．已知函数f(x)＝2cos.(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)若对任意x∈，使得m＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝2sincos(x＋)－2cos2＋＝sin－＝sin－cos－＝2sin－.∵－1≤sin≤1.∴－2－≤2sin－≤2－，T＝＝π.即f(x)的值域为，最小正周期为π.(2)当x∈时，2x＋∈，故sin∈，此时f(x)＋＝2sin∈.由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋＝－，∴≤－≤2，即，解得－≤m≤－1.即实数m的取值范围是.5．某网站对一商品进行促销，该商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)设商品降低x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，我们有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值故当x＝12时，f(x)达到极大值11664，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．6．设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．(1)设椭圆C上点(，)到两点F1、F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．解：(1)由于点在椭圆上，得＋＝1，又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．(2)无关．证明如下：过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，则点M、N关于坐标原点对称，设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)．因为M、N、P在椭圆上，应满足椭圆方程，即＋＝1，＋＝1，所以kPM·kPN＝·＝＝－，故kPM·kPN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．