一、选择题1．函数f(x)＝在x＝1处连续，则a的值为()A．0B．1C．－1D．2解析：选B.若f(x)在x＝1处连续，则有limf(x)＝lim(－)＝lim＝a，解得a＝1，故选B.2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝()A.B.C.D.解析：选B.由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝an(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.3．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则lim(＋＋…＋)＝()A.B.C．－D．－解析：选C.＝＝＋i，则解得a＝－6，所以lim(＋＋…＋)＝lim[(－)＋(－)2＋…＋(－)n]＝＝－.4．已知a，b∈R，|a|>|b|，且lim>lim，则a的取值范围是()A．a>1B．－1
1D．－11解析：选D.∵|a|>|b|，则lim＝lim[a＋()n]＝a，lim＝lim[＋()n]＝.∴a>⇒>0⇒－11，故选D.5．函数f(x)＝在点x＝1和x＝2处的极限值都是0，且在点x＝－2处不连续，则不等式f(x)>0的解集为()A．(－2,1)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1,2)解析：选C.由已知得f(x)＝，则f(x)>0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)，故选C.二、填空题6．已知函数f(x)＝在点x＝0处连续，则a＝________.解析：由题意得limf(x)＝lim(x2－1)＝－1，limf(x)＝limacosx＝a，由于f(x)在x＝0处连续，因此a＝－1.答案：－17．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则lim的值为________．解析：∵an＝4n－，∴a1＝，而数列{an}显然是等差数列，∴Sn＝＝2n2－，∴a＝2，b＝－，∴lim＝1.答案：18．(2010年高考上海卷)将直线l1：x＋y－1＝0、l2：nx＋y－n＝0、l3：x＋ny－n＝0(n∈N*，n≥2)围成的三角形的面积记为Sn，则limSn＝________.解析：由得则直线l2、l3交于点A(，)．点A到直线l1的距离d＝＝＝.又∵l1分别与l2、l3交于B(1,0)，C(0,1)，∴BC＝，∴Sn＝AB·d＝.∴limSn＝lim＝.答案：三、解答题9．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋n)·3n.(1)求lim；(2)证明：＋＋…＋>3n.解：(1)因为lim＝lim＝lim(1－)＝1－lim，又lim＝lim＝，所以lim＝.(2)证明：当n＝1时，＝S1＝6>3；当n>1时，＋＋…＋＝＋＋…＋＝(－)·S1＋(－)·S2＋…＋[－]·Sn－1＋·Sn>＝·3n>3n.综上知，当n≥1时，＋＋…＋>3n.10．已知各项均为正数的数列{an}，a1＝a(a>2)，an＋1＝，其中n∈N*.(1)证明：an>2；(2)设bn＝，证明：bn＋1＝b.证明：(1)运用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，由条件知a1＝a>2，故命题成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，有ak>2成立．那么当n＝k＋1时，ak＋1－2＝－2＝>0.即ak＋1>2，故命题成立．综上所述，命题an>2对于任意的正整数n都成立．(2)bn＋1＝＝＝＝b.11．设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，)都在函数f(x)＝x＋的图象上．(1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并证明你的猜想；(2)设An为数列{}前n项的积，是否存在实数a，使得不等式An0，解得－.综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，且a的取值范围为(－，0)∪(，＋∞)．
