（考前大通关）高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题六《第二讲 空间角与距离》题针对训练 理VIP免费

一、选择题1．若直线l与平面α所成的角为，则直线l与平面α内与l不相交的直线所成角中最大，最小的角分别为()A.，B.，C.，0D.，0解析：选B.直线和平面内直线所成角最大为，而直线和平面所成角即为直线和平面内所有直线所成角中的最小角，故最小角为.2．(2011年高考大纲全国卷)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()A．7πB．9πC．11πD．13π解析：选D.如图，由题意可知∠AMN＝60°，设球心为O，连接ON、OM、OB、OC，则ON⊥CD，OM⊥AB，且OB＝4，OC＝4.在圆M中， π·MB2＝4π，∴MB＝2.在△OMB中，OB＝4，∴OM＝2.在△MNO中，OM＝2，∠NMO＝90°－60°＝30°，∴ON＝.在△CNO中，ON＝，OC＝4，∴CN＝，∴S＝π·CN2＝13π.3．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点A1到截面AB1D1的距离是()A.B.C.D.解析：选C.设A1C1∩B1D1＝O1， B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥平面AB1D1，交线为AO1，在平面AA1O1内过A1作A1H⊥AO1于点H，则易知A1H的长即是点A1到平面AB1D1的距离．在Rt△A1O1A中，A1O1＝，AO1＝，由A1O1·A1A＝A1H·AO1，可得A1H＝.4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选C.如图所示，则BC中点、A1D1中点、B1、D分别到两异面直线的距离相等，即满足条件的点有四个，故选C项．5．设C是∠AOB所在平面外的一点，若∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，其中θ是锐角，而OC与平面AOB所成角的余弦值等于，则θ的值为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选C.作CC1⊥平面AOB于点C1，CA1⊥OA于点A1，CB1⊥OB于点B1，连接OC1(图略)，则∠COC1为直线OC与平面AOB所成的角，则OC1是∠AOB的平分线，设OA1＝x，则OC＝，OC1＝，易求得cos∠COC1＝＝＝，即2cos2－cos－1＝0，解之得cos＝或cos＝－(舍去)，故＝30°，所以θ＝60°.二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是__________．解析：取AA1的中点N，连结B1N，DN(图略)，则AM∥B1N，∠DB1N即为所求，设正方体的棱长为1，在△B1DN中，求出各边长，利用余弦定理可求出∠DB1N的余弦值为.答案：7．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是________．解析：由已知∠POB是PO和平面β所成角中的最小角．由最小角定理，∠POB是PO和面β所成的角．即BO是PO在β内的射影，故α⊥β.即二面角α—AB—β的大小为90°.答案：90°8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中正确的序号是______．(写出你认为正确的所有结论的序号)解析：取BD中点O，连结AO、CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥面AOC，∴AC⊥BD.又AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形．而∠ABD是AB与平面BCD所成的角，∴应为45°.又AC＝AB＋BD＋DC(设AB＝a)，则a2＝a2＋2a2＋a2＋2·a·a·(－)＋2·a·a·(－)＋2a2cos〈AB，DC〉，∴cos〈AB，DC〉＝，∴AB与CD所成角为60°.答案：①②④三、解答题9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝＝，故tan∠MA1B1＝＝，即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝，又BM＝＝，B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②又A1B1∩B1M＝B1，再由①②得BM⊥平面A1B1M，而BM⊂平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M.10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．解：以DA、DC、DP所在直线分别为x...