（考前大通关）高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题三《第一讲 三角恒等变换》专题针对训练 理VIP免费

一、选择题1．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知sinα＝，则cos(π－2α)＝()A．－B．－C.D.解析：选B.由诱导公式，得cos(π－2α)＝－cos2α.∵cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，∴cos(π－2α)＝－.2．(2011年高考辽宁卷)设sin＝，则sin2θ＝()A．－B．－C.D.解析：选A.sin＝(sinθ＋cosθ)＝，将上式两边平方，得(1＋sin2θ)＝，∴sin2θ＝－.3．在△ABC中，A＝60°，b＝5，这个三角形的面积为10，则△ABC外接圆的直径是()A．7B.C.D．14解析：选B.由于S＝bc·sinA＝10，即5c·＝20，得c＝8.又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即得a＝7,2R＝＝，故选B.4．定义为集合{θ1，θ2，…，θn}相对常数θ0的“余弦平均数”．则集合{－，0，}相对常数θ0的“余弦平均数”是()A．0B.C．－D．与θ0的取值有关解析：选A.依题意，＝＝＝0.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为()A.B.C.或D.或解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝ac，得＝·，即cosB＝·，∴sinB＝.又∵角B在三角形中，∴角B为或.故选D.二、填空题6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________.解析：由正弦定理得＝，得sinC＝，于是有C＝30°.从而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝.答案：7．设f(x)是以2为周期的奇函数，且f(－)＝3，若sinα＝，则f(4cos2α)的值等于________．解析：∵sinα＝，∴4cos2α＝4(1－2sin2α)＝4×(1－2×)＝，∴f(4cos2α)＝f()＝f[＋2×(－1)]＝f()＝－f(－)＝－3.答案：－38．sin40°(tan10°－)的值为______．解析：原式＝sin40°(－)＝＝＝＝＝＝－1.答案：－1三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，点P(，cos2θ)在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP·OQ＝－.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．解：(1)∵OP·OQ＝－，∴sin2θ－cos2θ＝－，即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，∴cos2θ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝.(2)∵cos2θ＝，∴sin2θ＝，∴点P(，)，点Q(，－1)．又点P(，)在角α的终边上，∴sinα＝，cosα＝.同理sinβ＝－，cosβ＝，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×(－)＝－.10．在△ABC中，C－A＝，sinB＝.(1)求sinA的值；(2)设AC＝，求△ABC的面积．解：(1)∵C－A＝且C＋A＝π－B，∴A＝－.∴sinA＝sin(－)＝(cos－sin)．∴sin2A＝(cos－sin)2＝(1－sinB)＝.又sinA>0，∴sinA＝.(2)由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝3.由A＝－知，A、B均为锐角，由sinB＝，sinA＝，得cosB＝，cosA＝.又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝××3×＝3.11．(2010年高考四川卷)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)已知△ABC的面积S＝，AB·AC＝3，且cosB＝，求cosC.解：(1)①证明：如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2.展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.②由①易得，cos(－α)＝sinα，sin(－α)＝cosα.sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝bcsinA＝，AB·AC＝bccosA＝3>0，∴A∈(0，)，cosA＝3sinA.又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝，cosA＝.由cosB＝，得sinB＝，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝.故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－.