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財務統計傅承德中央研究院統計科學研究所1.前言在金融市場上的理論探討與實務操作中，我們經常會碰到下列的問題：—金融市場在不確定(uncertain)的情況下，是如何運作？—資產(asset)的價格是如何訂定，以及它隨著時間的走勢又是如何？—資產未來的價格是否為可預測的(predictable)？—在制定某種財務管理政策之後，其風險(risk)為何？為了回答上述的問題，我們介紹一些基本的概念與理論。在描述某一種資產價格的走勢及其衍生性金融商品(derivatives)“的定價時，我們採用市場無套利(noarbitrage)”的“觀點。從數學的角度來說，此一經濟假設是表示存在一無風險機率測度(riskneutralprobabilitymeasure)，並且其經折現後的價格走勢(discountedprices)相對此一測度為一平賭過程(martingale)”。如此一來，我們即可利用隨機微積分(stochasticcalculus)來對衍生性金融商品(尤其是選擇權(option))制定其價格。本文的主要目的，就是將上面那句話做一個簡易的介紹。全文共分5節。在第2節中，我們介紹市場價格報酬率(return)的隨機漫步(randomwalk)假說，並舉台積電的股價為例，對此一假設做進一步說明。第3節介紹效率市場(efficientmarket)的基本概念，及其相對應的統計模型。第4節介紹歐式選擇權(Europeanoption)及其定價公式，並與傳統(大一)微積分做一簡單的類比。第5節是結論，我們敘述一些較深入的課題。2.隨機漫步假說在30年代，一些統計學家諸如：Cowles(1933),Working(1934),及Cowles和Jones(1937)，對一些財務資料做了實證分析，而試著去回答下列問題：價格的走勢是否為可預測的？在這些論文中，作者們經由對大量數據的統計分析，進而發現一個有趣並且出人意料的結果；即Rn=lnSnSn−1,其中Sn表示在時間n時的價格,n≥1,(2.1)“”為一獨立的序列。但因為此結果與一般大眾認為價格可經由節奏性(rhythms)、週期性(cycles)、趨勢性(trends)等現象，而可預測的直觀相異，故並未引起廣泛的注意。經過一段時間的沈寂之後，在50年代初，Kendall(1953)在英國皇家統計學會(RoyalStatisticalSociety)上發表一篇重要的文章，因而開啟了近代財務統計的里程碑。Kendall教授原本想要經由對股票及商品價格的分析，找出其週期性。但在分析實際資料後(1928-1938期間，19種上市股票的週資料；1883-1934期間，芝加哥市場小麥的月平均價格；1816-1951期間，紐約交換市場棉花的價格)，出乎意料之外，他發現的是這些“…價格並沒有任何節奏性、週期性或趨勢性。進而他得到的結論是thedemonofchancedrewarandomnumber…andaddedittothecurrentpricetodeterminethenext…price”。換言之，Rn=lnSnSn−1的行為像是一隨機漫步(randomwalk)。然而從歷史的角度來看，法國天才數學家Bachelier(1900)才是第一位利用隨機漫步去描述價格走勢的學者。他假設價格S(Δ)=(SkΔ(Δ))(注意他並未對Sn做對數轉換)在瞬間Δ,2Δ,⋯的表現為SkΔ(Δ)=S0+ζΔ+ζ2Δ+⋯+ζkΔ,(2.2)其中S0為初始價格，(ζiΔ)為獨立同分佈的隨機變數，且取值在σ√Δ及−σ√Δ的機率各為12。因此E(SkΔ(Δ))=S0,Var(SkΔ(Δ))=σ2⋅(kΔ).(2.3)令k=[tΔ],t>0以及讓Δ→0,Bachelier發現(2.2)的極限過程為S=(St)t≥0,其中St=limΔ→0S[tΔ]Δ(Δ)(注意此極限是在某特定的機率意義下)，且有下列表示式：St=S0+σWt,(2.4)其中W=(Wt),t≥0(W0=0,EWt=0,EWt2=t)為標準布朗運動(standardBrownianmotion)或稱為Wiener過程。此為最早描述價格的模型，雖然其數學性質簡單，但它的缺點為價格可能為負值而與實際狀況不相符。以下我們用台積電股價的例子來做進一步的說明。在圖2.1中，我們將台積電在民國83年9月上市至民國90年12月之每月月底的收盤股價記錄並畫出它的折線圖(資料—來源：台灣新報B&T國內TOP3000大企業資料庫)，這是財務上描述資產最典型的資料圖。我們發現台積電的股價高低的起伏變化相當大，如果在不對的時間點進行買賣，將會損失很多資金。而從圖中可看出不可預測性(unpredictability)似乎是財務模型的重要特徵。更何況我們關心的並不是股價的高低，而是報酬率的大小。若以Si表示第i月的股價，則第i至i+1個月的報酬率可表成Si+1−SiSi=Ri...