专题限时集训(九)三角函数与解三角形1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c
设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sinC．[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc
由余弦定理得cosA＝＝
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝
2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5
(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC．[解](1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝
由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝
在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25
所以BC＝5
3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c
已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解](1)由题设得acsinB＝，即csinB＝
由正弦定理得sinCsinB＝
故sinBsinC＝
(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－
所以B＋C＝，故A＝
由题意得bcsinA＝，a＝
