专题限时集训(十三)解析几何1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN
[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0
由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4
直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝
①将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN
综上，∠ABM＝∠ABN
2．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM
(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1
证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F
[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝NM得x0＝x，y0＝y
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1
又由(1)知m2＋n2
