计量经济学的基础工具VIP免费

第2章计量经济学的基础工具在第1章中定义了计量经济学的主要工具是数学，包括优化理论和统计分析。这些工具的基础知识是计量经济学的基础知识。尽管这些知识在所有的专业书籍中都可以找到，但是考虑到知识的连贯性和应用的便利，这里将以一章来介绍这些基本知识，以备那些需要的读者参考。关于矩阵部分，主要参考了Sydsaeter，Strom和Berch（2001）的文献，关于概率统计及其推断部分，主要参考了古亚拉提（2000）的文献，古扎拉蒂（2004），Sydsaeter，Strom和Berch（2001）以及王文中（2003）的文献。2.1矩阵2.1.1矩阵的定义称为阶矩阵，其中aij称为位于矩阵的第行和第j列的元素。简记。当时，称矩阵为n阶方阵，称为的n阶行列式。如果则称该方阵为n阶单位矩阵，记为。有=1。是对角矩阵的特殊形式。一般的对角矩阵记为并有矩阵的名称是由其元素的变化决定的。比如，所有元素都为0的矩阵叫零矩阵，所有位于主对角线下面的元素均为0，则称为上三角矩阵，反之则叫下三角矩阵。定义为矩阵的转置，记为。当时，如果，称为对称矩阵；如果，称为反对称矩阵；如果，则是幂等矩阵；如果，则是对合矩阵；若，则是正交阵且；如果或，则称为奇异的或非奇异的。一个高阶矩阵，根据实际需要，可分成若干小块。比如可分成四块：其中为阶矩阵，且如果是满足条件的最大≤阶方阵，则称的秩为r，记为设，，则有≤、≤设为n阶方阵，的迹定义为主对角线上所有元素之和，即2.1.2矩阵的计算及其性质同阶矩阵的加、减等于它们的对应元素相加、减后的矩阵。两个矩阵可乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并且它们的乘积所得的矩阵的阶数由第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数决定，其元素由第一个矩阵相应的行向量和第二个矩阵列向量的对应元素乘积的和组成。分块矩阵的加、减和乘可形式上比照一般矩阵的类似做法，此时记住分块矩阵的每个分块可视做相应矩阵的元素。矩阵的加法满足结合律和交换律。矩阵的乘法满足结合律。矩阵的乘法和加法满足分配律。不过，记住矩阵的乘法一般不满足交换律。这一点从矩阵的乘积定义中很容易理解。性质2.1方阵可逆的充分必要条件是如果方阵可逆，方阵的逆矩阵的求法如下：其中伴随矩阵定义为是元素的代数余子式，其定义为从矩阵中划去第i行和第j列后剩余的矩阵的行列式再乘上。分块矩阵的逆的求法设方阵分成四块如下：如果存在，则的逆可表示成：其中。如果存在，则的逆可表示成：其中。矩阵的指数形式和导数形式分别表示为：，，矩阵的导数等于各个元素分别求导后的矩阵。对于矩阵和列向量，有以下求导公式：性质2.2设，。则有：2.1.3复矩阵的定义和性质元素在复数域的矩阵称为复矩阵。下面把复矩阵的某些定义和基本性质叙述如下。定义2.1设为一个复矩阵，则有称为的共扼矩阵。称为的共扼转置。称为Hermitian矩阵，如果。称为酉矩阵，如果。性质2.3设A=(aij)m×n为复矩阵。则是实的，当且仅当。如果是实的，是Hermitian矩阵，当且仅当是对称的。性质2.4设和为复矩阵，c为复数。则有。。。。2.1.4特征值与特征向量定义2.2设是n阶方阵。称为的特征值，①如果满足以下方程①特征值的一个显然性质就是使得方阵的秩小于n。根据代数基本原理，是的n阶代数方程，在复数域里，存在n个根。这些根叫做的特征值。对于每一个特征值，，存在一个非零向量使得称为关于的特征向量。特征值很重要，现在把一些相关性质叙述如下。性质2.5设为多项式。如果为的特征值，则为的特征值。性质2.6当且仅当0不是A的特征值时，方阵可逆。若可逆且为的一个特征值，则为的一个特征值。性质2.7当且仅当的极限是零矩阵（）时，的所有特征值的模严格小于1。性质2.8设和为同阶矩阵。则和有相同的特征值。性质2.9如果是对称矩阵且仅有实元素，则的所有特征值是实的。性质2.10如果是的特征多项式，则是的所有阶主子式的和（共有个主子式的和）。称为的特征值方程或特征方程。性质2.11是可对角化的充分必要条件是存在矩阵和对角矩阵使得，与有相同的特征值。性质2.12如果有n个不同的特征值，则可对角化。谱定理如果是对称的且有特征值，则存在一个正交阵，使得Jordan分解定...