第1页共18页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共18页钻井布局问题的数学模型摘要勘探部门在某地区找矿时，首先进行初步勘探，取几个位置钻井，取得地质资料；然后进行系统勘探，进行纵横等距的撒网式钻井。显然如果能尽可能多的在系统勘探时利用初步勘探的钻井资料，就能有效的节约费用。在不考虑网格方向的情况下，本文首先给出了两个结论，即网格的位置由节点唯一确定，与原始矿井节点以及单位方格内的矿井映射点有相同的性质。这样就将问题等效为在单位方格内确定网格的一个节点。要解决这个问题，首先我们提出运用一般的搜索法对网格节点在单位方格内进行遍历（模型一）。通过对遍历算法进行有效的优化，大量减少了搜索的次数，进而初步计算得到了原井位最多有4个可被利用，并给出了方格节点的坐标为：(0.40+Xalignl¿i¿¿,0.50+Yi)Xi,Yi∈Ζ¿考虑到搜索算法的复杂度，我们给出了模型二，即在单位方格内通过确定每个矿井映射节点被利用时节点的区域，来找出方格内被这些区域覆盖次数最高的部分，显然如果将节点放在这部分内，将会有最多的点被利用，从而也就确定了节点的位置范围。运用MATLAB进行计算与判别，得到最多有4个可被利用，并求出了网格节点坐标具体的范围：(s+Xi,t+Yi)其中s∈(0.37,0.47),t∈(0.41,0.51)Xi,Yi∈Ζ当网格方向可以改变时，我们建立了模型三。考虑到判别条件是欧氏距离，可以将原题简化为一个圆形进行覆盖，圆的半径为ε，再用类比利用模型二进行判断，那么就能相应的找到最优规划。模型三首先进行了误差分析，根据假设的误差使用夹逼法则，然后，为了减小搜索范围，我们证明了Xi=[ai+ԑ−s],Yi=[bi+ԑ−t]时，最多有6个矿井可被利用。对于第三问的判定算法，我们仍然根据模型三，建立假设模型四。构造出两个极端情况，此时所有矿井均可被利用。具体算法的见问题三分析步骤。最后我们对模型四的一个假设进行了检验。虽然这个假设严格的说并不成立，但通过我们用蒙特卡罗方法进行多次模拟，发现假设成立的概率极高。综上，我们可以先用模型四进行计算，再对结果进行检验，对极少数不成立的，可以综合特殊情况进行考虑。第2页共18页第1页共18页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共18页关键词勘探矿井遍历算法蒙特卡罗数值分析误差分析假设检验一．问题重述勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。比如，钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元。设平面上有n个点Pi，其坐标为(ai,bi),i=1,2,…,n，表示已有的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1单位（比如100米）。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点Pi与某个网格结点Xi的距离不超过给定误差ε（＝0.05单位），则认为Pi处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi处打新井。为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：1)假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N，使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算。2)在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。3)如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）。n=12个点的坐标如下表所示：i123456789101112ai0.501.413.003.373.404.724.725.437.578.388.989.50bi2.003.501.503.515.502.006.244.102.014.503...
