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第1页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共5页概率论与数理统计试卷二一、（10分）对一个三人学习小组考虑生日问题(1)求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；(2)求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；(3)求三个人的生日不都在星期天的概率。二、（10分）在八个数字中0,1,2,…,7中不重复地任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？三、（10分）袋中装有30个乒乓球，其中20个黄的，10个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一次，取后不放回，试求第二次取得黄球的概率。四、（10分）设盒中有5个球，其中2个白球，3个红球，现从中随机取3球，设X为抽得白球数，试求X的数学期望与方差。五、（12分）设随机变量X服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为：fX(x)=¿{3e−3xx>0¿¿¿¿试求Y=2X2的概率密度函数与数学期望。六、（12分）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在90∘C，液体的温度X（以∘C记）是一个随机变量，服从正态分布,其方差为0.62，试求液体的温度保持在89∘~91∘C的概率。七、（12分）设随机变量X与Y具有概率密度：f(x,y)=¿{18(x+y)0≤x≤2,0≤y≤2¿¿¿¿试求：D(X),D(Y)，与D(2X−3Y)。八、（12分）试求正态总体N(μ,0.52)的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.4的概率。第2页共5页第1页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共5页九、（12分）已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为：999.17993.051001.841005.36989.81000.891003.741000.231001.261003.19试求未知参数μ，σ2及σ的置信度为0.95的置信区间。(t0.025(9)=2.262,χ0.0252(9)=19.023,χ0.9752(9)=2.7)试卷参考解答一、（10分）对一个三人学习小组考虑生日问题(1)求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；(2)求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；(3)求三个人的生日不都在星期天的概率。解：（1）p1=17×17×67×3=18343=0.0525（2）p2=67×67×67+17×67×67×3=324343=0.9446（3）p3=1−17×17×17=342343=0.9971二、（10分）在八个数字中0,1,2,…,7中不重复地任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：p=7×6×5+3×6×6×58×7×6×5=0.4464三、（10分）袋中装有30个乒乓球，其中20个黄的，10个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一次，取后不放回，试求第二次取得黄球的概率。解：设Ai=第i次取得黄球，i=1,2P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(¯A1)P(A2|¯A1)=2030×1929+1030×2029=2030=23四、（10分）设盒中有5个球，其中2个白球，3个红球，现从中随机取3球，设X为抽得白球数，试求X的数学期望与方差。第3页共5页第2页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共5页解：P{X=0}=C33C53=110=0.1，P{X=1}=C21C32C53=610=0.6P{X=2}=C22C31C53=310=0.3X012pk0.10.60.3E(X)=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2E(X2)=02×0.1+12×0.6+22×0.3=1.8D(X)=E(X2)−[E(X)]2=1.8−(1.2)2=0.36五、（12分）设随机变量X服从参数为3的指数分布，即其概率密度函数为：fX(x)=¿{3e−3xx>0¿¿¿¿试求Y=2X2的概率密度函数与数学期望。解：y=2x2,y'=4x>0,（x>0）x=√y/2,x'=12√2y(y>0)fY(y)=¿{fX(h(y))|h'(y)|=32√2ye−3√y/2y>0¿¿¿¿E(Y)=E(2X2)=∫0+∞2x2⋅3e−3xdx=−2x2e−3x|0+∞+4∫0+∞xe−3xdx=−43xe−3x|0+∞+43∫0+∞e−3xdx=−49e−3x|0+∞=49另解：因为X~Z(3),E(X)=13,D(X)=132E(Y)=E(2X2)=2E(X2)=2×{D(X)+[E(X)]2}=2×{19+(13)2}=49六、（12分）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整第4页共5页第3页共5页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共5页定在90∘C，液体的温度X（以∘C记）是一个随机变量，服从正态分布,其方差为0.62，试求液体的温度保持在89∘~91∘C的概率。解：P{89