第1页共10页编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第1页共10页2008年振动力学期末考试试题第一题(20分)1、在图示振动系统中,已知:重物C的质量m1,匀质杆AB的质量m2,长为L,匀质轮O的质量m3,弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解:系统可以简化成单自由度振动系统,以重物C的位移y作为系统的广义坐标,在静平衡位置时y=0,此时系统的势能为零。AB转角:ϕ=y/L系统动能:m1动能:T1=12m1˙y2m2动能:T2=12J2ω22=12(13m2L2)˙ϕ2=12(13m2L2)(˙yL)2=12(13m2)˙y2m3动能:T3=12J3ω32=12(12m3R2)(˙yR)2=12(12m3)˙y2系统势能:V=−m1gy+m2g(12y)+12k(12y)2在理想约束的情况下,系统的主动力为有势力,则系统的机械能守恒,因而有:T+V=12(m1+13m2+12m3)˙y2−m1gy+12m2gy+12k(12y)2=E上式求导,得系统的微分方程为:第2页共10页第1页共10页x编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第2页共10页¨y+k4(m1+13m2+12m3)y=E'固有频率和周期为:ω0=√k4(m1+13m2+12m3)2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上,轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上;轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连;不计滑轮A,绳及弹簧的质量,系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解:系统可以简化成单自由度振动系统,以重物B的位移x作为系统的广义坐标,在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。物体B动能:T1=12m2˙x2轮子与地面接触点为速度瞬心,则轮心速度为vc=12˙x,角速度为ω=12R˙x,转过的角度为θ=12Rx。轮子动能:T2=12m1vc2+12Jω2=12m1(14˙x2)+12(12m1R2)(14R2˙x2)=12(38m1˙x2)系统势能:V=12kxc2=12k(θR)2=12k(12RxR)2=k8x2在理想约束的情况下,系统的主动力为有势力,则系统的机械能守恒,有:T+V=12(3m18+m2)˙x2+k8x2=E上式求导得系统的运动微分方程:¨x+2k3m1+8m2x=0固有频率为:ω0=√2k3m1+8m2第二题(20分)1、在图示振动系统中,重物质量为m,外壳质量为2m,每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法:(1)以x1和x2为广义坐标,建立系统的微分方程;(2)求系统的固有频率。第3页共10页第2页共10页x1x2DkL32kL311k11k编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第3页共10页解:系统为二自由度系统。当x1=1,x2=0时,有:k11=2k,k21=-2k当x2=1,x2=1时,有:k22=4k,k12=-2k因此系统刚度矩阵为:[2k−2k−2k4k]系统质量矩阵为:[m002m]系统动力学方程为:[m002m][¨x1¨x2]+[2k−2k−2k4k][x1x2]=[00]频率方程为:Δ(ω)=|2k−mω2−2k−2k4k−2mω2|=0解出系统2个固有频率:ω12=(2−√2)km,ω22=(2+√2)km2、在图示振动系统中,物体A、B的质量均为m,弹簧的刚度系数均为k,刚杆AD的质量忽略不计,杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法,试求:(1)以x1和x2为广义坐标,求系统作微振动的微分方程;(2)系统的固有频率方程。解:系统可以简化为二自由度振动系统,以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。当x1=1,x2=0时,AD转角为θ=1/3L,两个弹簧处的弹性力分别为kθL和2kθL。对D点取力矩平衡,有:k11=149kL;另外有k21=−kL。同理,当x2=1,x2=1时,可求得:k22=kL,k12=−kL因此,系统刚度矩阵为:[149kL−kL−kLkL]系统质量矩阵为:[m00m]系统动力学方程为:第4页共10页第3页共10页2x1x编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第4页共10页[m00m][¨x1¨x2]+[149kL−kL−kLkL][x1x2]=[00]频率方程为:|14kL9−mω2−kL−kLkL−mω2|=0即:9m2ω4−23kmLω2+5k2L2=0第三题(20分)在图示振动系统中,已知:物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。(1)采用影响系数方法建立系统的振动微分方程;(2)若k1=k3=k4=k0,又k2=2k0,求系统固有频率;(3)取k0=1,m1=8/9,m2=1,系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0,初始速度都为零,采用模态叠加法求系统响应。解:(1)系统可以简化为...