专题强化训练函数及其基本性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知函数f(x)=+(x-2)0的定义域是()A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)【解析】选C.要使函数有意义,需要满足所以x>1且x≠2.2.设集合A={-1,3,5},若f:x→2x-1是集合A到集合B的映射,则集合B可以是()A.{0,2,3}B.{1,2,3}C.{-3,5}D.{-3,5,9}【解析】选D.注意到题目中的对应法则,将A中的元素-1代入得-3,3代入得5,5代入得9.3.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是()A.f(x)=9x+8B.f(x)=3x+2C.f(x)=-3x-4D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4【解析】选B.f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,所以f(t)=3t+2,即f(x)=3x+2.4.设函数f(x)=若f(α)=4,则实数α=()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2【解析】选B.当α≤0时,f(α)=-α=4,得α=-4;当α>0时,f(α)=α2=4,得α=2.所以α=-4或2.5.若函数f(x)=为奇函数,则a=()A.1B.C.D.【解析】选D.因为f(-x)=-f(x),所以所以a=.6.(2015·石家庄高一检测)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是()=-,所以(2a-1)x=0,【解析】选A.由于函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数图象在x=0处是断开的,故可以排除C,D;由于当x为很小的正数时,f(x)>0且g(x)<0,故f(x)·g(x)<0,可排除B.二、填空题(每小题4分,共12分)7.给出下列四个函数:①y=x+1;②y=2x+1;③y=x2-1;④y=.这四个函数中其定义域和值域完全相同的是.(填序号)【解析】①中函数y=x+1的定义域和值域为R,②中函数y=2x+1的定义域和值域为R,③中函数y=x2-1的定义域为R,值域为[-1,+∞),④中函数y=的定义域和值域为(-∞,0)∪(0,+∞).答案:①②④8.已知函数f(x)=(a≠1).(1)若a>0,则f(x)的定义域是.(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是.【解析】(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤,即此时函数f(x)的定义域是.(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1
0,此时a<0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].答案:(1)(2)(-∞,0)∪(1,3]9.(2015·南宁高一检测)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是.【解析】设f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),在[-1,2]上的值域分别为A,B,由题意可知:A=[-1,3],B=[-a+2,2a+2],所以又因为a>0,所以02时,图象是顶点为P(3,4)的抛物线的一部分.(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象.(2)求函数f(x)在[2,+∞)上的解析式.(3)写出函数f(x)的单调区间.【解析】(1)图象如图所示.(2)当x≥2时,设f(x)=a(x-3)2+4(a≠0).因为f(x)的图象过点A(2,2),所以f(2)=a(2-3)2+4=2,所以a=-2,所以f(x)=-2(x-3)2+4.(3)由f(x)的图象知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-3]和[3,+∞),单调递增区间为[-3,3].11.已知函数f(x)=,且f(1)=2,(1)证明函数f(x)是奇函数.(2)证明f(x)在(1,+∞)上是增函数.(3)求函数f(x)在[2,5]上的最大值与最小值.【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为f(1)=2,所以1+a=2,即a=1f(x)==x+,f(-x)=-x-=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)任取x1,x2∈(1,+∞)且x11,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1,x1x2-1>0,从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(-1,0)上为减函数.
