专题二数列建知识网络明内在联系高考点拨]数列专题是高考的必考专题之一,主要考查等差、等比数列的基本量运算及数列求和的能力,该部分即可单独命题,又可与其他专题综合命题,考查方式灵活多样,结合“”“”近几年高考命题研究,为此本专题我们按照等差、等比数列和数列求和两条主线展开分析和预测.突破点4等差数列、等比数列提炼1等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列:an=a1+(n-1)d;等比数列:an=a1·qn-1.(2)求和公式等差数列:Sn==na1+d;等比数列:Sn==(q≠1).(3)性质若m+n=p+q,在等差数列中am+an=ap+aq;在等比数列中am·an=ap·aq.提炼2等差数列、等比数列的判定与证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法:(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;②利用中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法①利用定义,证明(n∈N*)为一常数;②利用等比中项,即证明a=an-1an+1(n≥2).提炼3数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f(n)=an,利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要注意自变量的取值必须是正整数的限制.(2)利用数列的单调性求解,利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解出n的取值范围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值.(3)转化为关于n的不等式组求解,若求数列{an}的最大项,则可解不等式组若求数列{an}的最小项,则可解不等式组求出n的取值范围之后,再确定取得最值的项.回访1等差数列基本量的运算1.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97C法一: {an}是等差数列,设其公差为d,∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.又 a10=8,∴∴∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.法二: {an}是等差数列,∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.在等差数列{an}中,a5,a10,a15…,,a100成等差数列,且公差d′=a10-a5=8-3=5.故a100=a5+(20-1)×5=98.故选C.]2.(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6C {an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0,∴am=Sm-Sm-1=2. Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3,∴d=am+1-am=1.又Sm===0,∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5.]3.(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________.-49设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由等差数列前n项和可得解得∴nSn=n2a1+d=-3n2+(n3-n2)=n3-,∴(nSn)′=n2-,令(nSn)′=0,解得n=0(舍去)或n=.当n>时,nSn是单调递增的;当0<n<时,nSn是单调递减的,故当n=7时,nSn取最小值,∴(nSn)min=×73-=-49.]回访2等比数列基本量的运算4.(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84B a1=3,a1+a3+a5=21,∴3+3q2+3q4=21,∴1+q2+q4=7,解得q2=2或q2=-3(舍去).∴a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.故选B.]5.(2016·全国乙卷)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.64设等比数列{an}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,∴a1=8.故a1a2…an=aq1+2…++(n-1)=23n·=23n-+=2-+n.记t=-+=-(n2-7n),结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数,从而a1a2…an的最大值为26=64.]热点题型1等差、等比数列的基本运算题型分析:以等差比数列为载体,考查基本量的求解,体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点,题型以客观题为主,难度较小.(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,那么数列{bn}的前15项和为()A.152B.135C.80D.16(2)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.2B.-2C.D.-(1)B(2)D(1)设等比数列{an}的公比为...