高三数学二轮复习 第1部分 专题4 突破点10 空间几何体表面积或体积的求解 理-人教高三数学试题VIP免费

专题四立体几何建知识网络明内在联系高考点拨]“”立体几何专题是高考中当仁不让的热点之一，常以两小一大呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和空间位置关系及空间角，一大题“常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探求．本专题主要从空间几何体表面积或体积的”“”“”求解空间中的平行与垂直关系立体几何中的向量方法三大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能．突破点10空间几何体表面积或体积的求解提炼1求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.提炼2球与几何体的外接与内切(1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径r＝a，外接球的半径R＝a.图101(2)正方体与球：设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点，如图101所示．①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为OJ＝；②正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为OG＝；③正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA1＝.回访1几何体的表面积或体积1.(2016·全国甲卷)如图102是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()图102A．20πB．24πC．28πD．32πC由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为2，所以圆锥的母线长为＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]2．(2015·全国甲卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图10-3，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图103A.B.C.D.D“”由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个大角后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝.所以＝＝，故选D.]3．(2014·全国卷Ⅱ)如图104，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图104A.B.C.D.C由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm，底面半径为2cm，右面圆柱的高为2cm，底面半径为3cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为＝.]回访2球与几何体的外接与内切4．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．144πD．256πC如图，设球的半径为R， ∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2. VOABC＝VCAOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为×R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.]5．(2013·全国卷Ⅰ)如图105，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图105A.cm3B．cm3C.cm3D.cm3A如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝π×53＝π(cm3)．]6．(2012·全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.B．C.D.A由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OAB...