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高三数学二轮复习 第1部分 专题5 突破点15 圆锥曲线中的综合问题(酌情自选) 理-人教高三数学试题VIP免费

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突破点15圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)提炼1解答圆锥曲线的定值、定点问题,从三个方面把握(1)从特殊开始,求出定值,再证明该值与变量无关.(2)直接推理、计算,在整个过程中消去变量,得定值.(3)在含有参数的曲线方程里面,把参数从含有参数的项里面分离出来,并令其系数为零,可以解出定点坐标.提炼2用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点,则可以利用判别式求范围.(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形,则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解.(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围.(4)利用基本不等式求最值与范围.(5)利用函数值域的方法求最值与范围.提炼3与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系,要求探索出一些规律,并能论证所得规律的正确性.通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括出一般规律.(2)“”对于只给出条件,探求是否存在类型问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,若推出相符的结论,则存在性得到论证;若推出矛盾,则假设不存在.回访1圆锥曲线的定值、定点问题1.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解](1)由题意有=,+=1,2分解得a2=8,b2=4.3分所以C的方程为+=1.4分(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入+=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.6分故xM==,yM=k·xM+b=.8分于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.11分所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分回访2圆锥曲线中的最值与范围问题2.(2014·北京高考)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.解](1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1,2分所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.5分(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.7分又x+2y=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=2+(y0-2)2=x+y++4=x+++4=++4(0<x≤4).12分≥因为+4(0b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且PC·PD=-1.(1)求椭圆E的方程;(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得OA·OB+λPA·PB为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解](1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点P的坐标为(0,1),且PC·PD=-1,于是解得a=2,b=.所以椭圆E的方程为+=1.4分(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=-.6分从而,OA·OB+λPA·PB=x1x2+y1y2+λx1x2+(y1-1)(y2-1)]=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1==--λ-2.9分所以,当λ=1时,--λ-2=-3.此时,OA·OB+λPA·PB=-3为定值.10分当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD.此时,OA·OB+λPA·PB=OC·OD+PC·PD=-2-1=-3.12分故存在常数λ=1,使得OA·OB+λPA·PB为定值-3.13分热点题型1圆锥曲线中的定值问题题型分析:圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容,解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式恒成立,数式变换等寻找不受参数影响的量.(2016·重庆二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(均不在坐标轴上).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,若△AOB的面积...

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