压轴专题（二）第20“”题解答题圆锥曲线的综合问题抢分练1.(2016·湖南东部六校联考)设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，S是椭圆上任意一点，且△SF1F2的周长是4＋2.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足，，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE.2．(2016·河南六市联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的一点，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1·k2的值．3.（2016·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．4．(2016·湖北七市联考)已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C.(1)求C的方程；(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．答案1.解：(1)由e＝，知＝，所以c＝a，因为△SF1F2的周长是4＋2，所以2a＋2c＝4＋2，所以a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C1的方程为：＋y2＝1.(2)证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设D(x0，y0)，所以E(x0，0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)，由可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝.所以直线AC的方程为：＝.整理得：y＝(x＋2)．又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得：y＝，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，所以PD＝PE.2．解：(1)设圆R的半径为r，由圆R的方程知r＝2，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|＝r＝4，即x＋y＝16，①又点R在椭圆C上，所以＋＝1，②联立①②，解得所以，圆R的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.(2)因为直线OP：y＝k1x和OQ：y＝k2x都与圆R相切，所以＝2，＝2，化简得(x－8)k－2x0y0k1＋y－8＝0，(x－8)k－2x0y0k2＋y－8＝0，所以k1，k2是方程(x－8)k2－2x0y0k＋y－8＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得，k1·k2＝，因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即y＝12－x，所以k1k2＝＝－.3.解：(1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为，由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)＞0，化简得p＋2b＞0.方程(*)的两根为y12＝－p±，从而y0＝＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b＞0，于是p＋2(2－2p)＞0，所以p＜.因此p的取值范围是.4．解：(1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝42，所以圆心为(－1，0)，半径为4.连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|，所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4.根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为＋＝1，即为所求曲线C的方程．①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，此时可不妨取P，Q，E，F(－2，0)，所以＝·＝－3－＝－.②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得＝－.③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则直线EF的方程为y＝－(x－1)．将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以xP＋xQ＝，xP·xQ＝.于是＝(xP－1)(xQ－1)＋yP·yQ＝(1＋k2)[xPxQ－(xP＋xQ)＋1]＝(1＋k2)＝－.将上面的k换成－，可得＝－，所以＝－9(1＋k2)(＋)．令1＋k2＝t，则t>1，于是上式化简整理可得，＝－9t＝－＝－.由t>1，得0<<1，所以－<≤－.综合①②③可知，的取值范围为
