专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题建议用时：45分钟]1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，)为短轴的一个端点，∠OF2B＝60°.图153(1)求椭圆C的方程；(2)如图153，过右焦点F2，且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′.试问k·k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．解](1)由条件可知a＝2，b＝，故所求椭圆方程为＋＝1.4分(2)设过点F2(1,0)的直线l的方程为y＝k(x－1)．由可得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.5分因为点F2(1,0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.6分因为直线AE的方程为y＝(x－2)，直线AD的方程为y＝(x－2)，令x＝3，可得M，N，所以点P的坐标.8分直线PF2的斜率为k′＝＝·＝·＝·＝－，所以k·k′为定值－.12分2．(2016·衡水二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋12＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设A(－4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【导学号：85952057】解](1)由题意得∴故椭圆C的方程为＋＝1.4分(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋3，由∴(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝.6分由A，P，M三点共线可知＝，∴yM＝.8分同理可得yN＝，∴k1k2＝×＝＝.10分∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k2＝＝－.12分∴k1k2为定值－.3．(2016·太原一模)已知椭圆M：＋＝1(a＞0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．(1)求椭圆方程；(2)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．解](1)因为F(－1,0)为椭圆的焦点，所以c＝1，又b2＝3，所以a2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.3分(2)因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y＝x＋1，和椭圆方程联立得到消掉y，得到7x2＋8x－8＝0，4分所以Δ＝288，x1＋x2＝－，x1x2＝－，5分所以|CD|＝|x1－x2|＝×＝.6分(3)当直线l斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时D，C，△ABD，△ABC面积相等，|S1－S2|＝0，7分当直线l斜率存在(显然k≠0)时，设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，和椭圆方程联立得到消掉y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，8分显然Δ＞0，方程有根，且x1＋x2＝－，x1x2＝，9分此时|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x2＋x1)＋2k|≤＝＝＝＝(k＝±时等号成立)，所以|S1－S2|的最大值为.12分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.图154(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．解](1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则＝(其中c2＝a2－b2，c＞0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为＋y2＝1.4分(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，5分则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，且x1＋x2＝－，x1x2＝.6分故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，7分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以·＝＝k2，即－＋m2＝0.8分又m≠0，所以k2＝，即k＝±.9分由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2，且m2≠1.设d为点O到直线l的距离，则d＝，10分|PQ|＝＝，11分所以S＝|PQ|d＝＜＝1(m2≠1)，故△OPQ面积的取值范围为(0,1).12分
