空间向量及空间角练习题VIP免费

..课时作业(二十)[学业水平层次]一、选择题1．假设异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，那么l1与l2所成的角为()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均不对【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且π异面直线所成角的X围为0，.应选A.2【答案】A2．A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，那么直线AB与直线CD所成角的余弦值为()522522A.B．－6666522522C.D．－2222【解析】AB＝(2，－2，－1)，CD＝(－2，－3，－3)，522∴cos〈AB，CD〉＝＝＝，→→3×2266|AB||CD|→→→→AB·CD→→5..word....522∴直线AB、CD所成角的余弦值为.66【答案】A3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，假设PA＝AB，那么平面PAB与平面PCD的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如下图，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.那么A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是AD＝(0,1,0)．→取PD中点为E，11那么E0，，，2211∴AE＝0，，，22→易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴2cosAD，AE＝，2∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.【答案】B4．(2021·XX师大附中高二检测)如图3229，在空间直角坐标→→→→..word....系Dxyz中，四棱柱ABCD—A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，那么二面角B1A1BE的余弦值为()图32293333A．－B．－C.D.3232【解析】设AD＝1，那么A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别为C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E＝(－1,1,0)，A1B＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，那么→AE·m＝0，→AB·m＝0，11→→－x＋y＝0，y＝x，所以所以取x＝1，那么y2y－2z＝0，y＝z，＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，m·DA→所以DA＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，DA〉＝→|m||DA|3＝＝，又二面角B1A1BE为锐二面角，所以二面角B1A1BE的333余弦值为，应选C.3【答案】C..word..→→1..二、填空题5．棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，那么异面直线AM与所成角的余弦值是________．【解析】依题意，建立如下图的坐标系，那么A(1,0,0)，11M1，，1，C(0,1,0)，N1，1，，2211→∴AM＝0，，1，＝1，0，，22→→∴cos〈AM，〉＝→125·222＝，552故异面直线AM与所成角的余弦值为.52【答案】56．(2021·XX高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，－2,0)、B(2,1，6)，那么向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，AB＝(1,3，→→..word....→3t6)，所以cos〈n，AB〉＝＝，因为〈n，AB〉∈[0，π]，→4|t||n|·|AB|→n·AB→所以sin〈n，AB〉＝7【答案】4→3t721－＝.44|t|7．点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，那么平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．【解析】如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．12所以A(1,0,0)，E1，1，，F0，1，，3311→所以AE＝0，1，，EF＝－1，0，，33→..word....→n·AE＝0，那么→n·EF＝0，22即1－x＋3z＝0.1y＋z＝0，3取x＝1，那么y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．n1·n2311所以cos〈n1，n2〉＝＝.|n1||n2|11所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝311222，sinα＝，所以tanα＝.111132【答案】3三、解答题8.如图3230所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.图3230(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．【解】(1)证明：连结OC，..word....由题意知BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由可得AO＝1，CO＝3，又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2...