题型专题(十)导数的简单应用[师说考点]1．导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a>0)；(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1)．2．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[典例](1)(2016·贵州模拟)已知M为不等式组表示的平面区域，直线l：y＝2x＋a，当a从－2连续变化到0时，区域M被直线l扫过的面积为()A.B．2C.D.[解析]选D作出图形可得区域M被直线l扫过的面积为x2dx－×1×2＝x3|－1＝×(8－1)－1＝，选项D正确．(2)(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．[解析]因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.[答案]y＝－2x－1(1)利用定积分求平面图形面积的方法利用定积分求平面图形的面积，一般先正确画出几何图形，再结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．(2)利用导数几何意义解题的思路利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．[演练冲关]1．(2016·郑州模拟)函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0解析：选C依题意，f(0)＝e0cos0＝1，因为f′(x)＝excosx－exsinx，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，故选C.2．(2016·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)和(－1，3)D．(1，－3)解析：选Cf′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)．经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.3．(2016·石家庄质检)(x2＋)dx＝________.解析：x2dx＝x3|＝，而根据定积分的定义可知dx表示圆心在原点的单位圆的上半部分的面积，即半圆的面积，∴(x2＋)dx＝＋.答案：＋[师说考点]1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．2．若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．[典例](2016·北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[解](1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设有即解得(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(∞－，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(∞－，1)上单调递减；当x∈(1，∞＋)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，∞＋)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(∞－，∞＋)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(∞－，∞＋)．综上可知，f′(x)>0，x∈(∞－，∞＋)，故f(x)的单调递增区间为(∞－，∞＋)．求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．[演练冲关]1.定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的增区间是________．解析：由题图知f′(x)≥0的区间是(∞－，2]，故函数y＝f(x)的增区间是(∞－，2]．答案：(∞－，2]2．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．...
